Si todas las raíces de un polinomio P(z) tienen partes reales negativas, demuestran que todas las raíces de P ' (z) también tienen partes reales negativas

Question

Si todas las raíces de un polinomio $P(z)$ tienen partes reales negativas, demuestran que todas las raíces de la derivada $P'(z)$ también tienen partes reales negativas.

¿Alguien podría proporcionar una prueba de esto, por favor?

Answer 1

Que $P(z)=\prod_{i=1}^n(z-\alpha _i)$ con $\Re \alpha _i<0$ $(i=1,2,...,n)$ y $$g(z)=\frac{1}{z-\alpha_1}+\frac{1}{z-\alpha _2}+...+\frac{1}{z-\alpha _n}.$$ Then $P^\prime (z) = P (z) g (z) $, and hence every root $z_0$ of $P^\prime (z) = 0 $ satisfies $p (z_0) = 0 $ or $ g (z_0) = 0$.
Supongamos que $g(z_0)=0$ y $\Re z_0\ge 0$. Es fácil ver que $\Re \frac{1}{z_0-\alpha _i}>0 $ $(i=1,2,...,n)$. Por lo tanto tenemos $$\Re g(z_0)=\Re\frac{1}{z_0-\alpha _1}+\Re\frac{1}{z_0-\alpha _2}+...+\Re\frac{1}{z_0-\alpha _n}>0,$$ which contradicts that $ g (z_0) = 0$.
Por lo tanto, todas las raíces de $ P^\prime (z)$ tienen partes reales negativas.