Técnicas de diferenciación coordenada libre en geometría de Riemann

Question

Me encontré con el siguiente identidades, mientras que la lectura de este artículo en global cálculo (p. 10):

$$ d(\|df\|^2)=2\mathop{\iota_{\mathop{\mathrm{grad}} f}} \mathop{\mathrm{Hess}} f, $$

$$ \mathop{\mathrm{grad}}(\|df\|^2)=2\mathop{\nabla_{\mathop{\mathrm{grad}} f}}\mathop{\mathrm{grad}} f $$

Aquí $\mathop{\mathrm{Hess}} f = \nabla d f$ es la derivada covariante de la 1-forma $df$, y la norma $\|\cdot\|$ es dado por la métrica de Riemann: $\|\upsilon\|^2=g(\upsilon,\upsilon)$.

Me pregunto ¿cómo es que uno generalmente se derivan de estas identidades (sin el uso de coordenadas)?

Answer 1

Simplemente haciendo uso de la definición. La primera cosa a recordar es que la derivada covariante desplazamientos con la métrica y la inversa de una métrica. La segunda cosa a recordar es que la covariante y exterior derivados de acuerdo al actuar en una función escalar. Así,

$$ d(\|df\|^2) = \nabla(\|df\|^2) = \nabla g^{-1}(df,df) = g^{-1}(\nabla df, df) + g^{-1}(df, \nabla df) $$

A continuación, usar la simetría de $g^{-1}$ como una forma bilineal, y usar la definición para elevar los índices que para cualquier forma de $\omega$,

$$ \iota_{\mathrm{grad}~f} = \omega(\mathrm{grad}~f) = g^{-1}(\omega, df) $$

para llegar a

$$ d(\|df\|)^2 = 2 \iota_{\mathrm{grad}~f} \mathrm{Hess}~f $$

El cálculo de la segunda identidad es similar. (Tenga en cuenta que para las notaciones para hacer sentido, también es necesario utilizar el hecho de que para una función escalar $f$, el segundo derivados de viaje. En otras palabras, la Hessiana es simétrica (0,2) tensor.)