Demostrar que $\lim_{n\to \infty}\sin{n\pi x} =0$ si $x\in \mathbb{Z},$ pero el límite no existe si $x\notin \mathbb{Z}.$

Question

Demostrar que $\lim_{n\to \infty}\sin{n\pi x} =0$ si $x\in \mathbb{Z},$ pero el límite no existe si $x\notin \mathbb{Z}.$

1ª parte

Si $x\in \mathbb{Z}$ entonces $\sin{n\pi x}=0$ para todos $n,$ dando la primera parte.

Editar:

2ª parte

Si $x\notin \mathbb{Z},$ Quiero demostrar que el límite no existe. ¿Cómo hacerlo?

Answer 1

Si x es un racional la secuencia rotación $n\pi x$ radianes del círculo unitario formarán una órbita periódica equidistribuida (ver teoremas de equidistribución). La longitud de la órbita será exactamente dos veces el denominador. Por lo tanto, formará una órbita periódica de orden 2 si x es un número entero, por suerte estas dos posiciones dan ambas sin=0. Si x es irracional, entonces observe $xn\pi$ es denso y topológicamente transitivo, por utilizar alguna terminología de los sistemas dinámicos, por lo que nunca se estabilizará.