No sé donde se puede encontrar una buena referencia para este tipo de cosas, pero me puede presentar varias soluciones interesantes que en realidad podría surgir de cálculo. No estoy seguro de que esto es exactamente lo que usted está buscando, porque los métodos son un poco peculiar, y más atacar "Vamos a hacer esto sin derivados" que "Vamos a hacer esto elegantemente" - pero todavía hay puntos de vista para ser blancos, pero no son la clase que darle la satisfacción inmediata sin demasiado pensamiento.
AM-GM por Simetría:
Supongamos que se desea minimizar $f(x)=x+\frac{1}x$. Podríamos señalar que este tiene la simetría
$$f(x)=f\left(\frac{1}x\right).$$
Junto con el hecho de que podemos probar $f\left(\frac{x+y}2\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}2$ (es decir, que $f$ es convexo), que es fácilmente demostrado de manera algebraica, es suficiente para mostrar que $f$ tiene un único punto mínimo, pero por la simetría, si $x$ es un mínimo, por lo que es $\frac{1}x$. Por lo tanto, para la única ubicación posible de la mínima debe ser donde $x=\frac{1}x$. Cosas similares de trabajo para incluso funciones, aunque tal manipulación puede ser un poco trivial.
En multivariable de cálculo, se puede ver mucho más interesante simetrías - por ejemplo, la expresión $a\cdot x$ para un vector constante $a$ y el vector $x$ restringido a la unidad de la esfera puede ser simplificado señalando que cualquier reflexión que preserva $a$ preserva $a\cdot x$ cuando se aplica a $x$, y esto, junto con algún hecho para mostrar un único máximo y mínimo de la muestra que la expresión anterior se maximiza cuando se $x$ $a$ son paralelas. Si su estudiante podría estar familiarizado con dicho material, esto es digno de destacar.
Cúbicas por Doble Raíces:
En primer lugar, en mi experiencia de cálculo, recuerdo que con frecuencia se pidió a los problemas de palabras que le gustaba a reducir a
Minimizar $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
Me cansé de hacer esto con derivados. Lo que se me ocurrió como una alternativa a considerar que si traducimos una extrema abajo a la $x$-eje, será un doble raíz del polinomio. Usted puede probar esto de manera rigurosa, pero que al lado de la de punto poco importante aquí es que la doble raíces se ven como extrema. Ser formal, si $x_0$ es un extremos de $f$, entonces nosotros debe ser capaz de escribir $f$ en el formulario:
$$f(x)=a(x-x_0)^2(x-k)+f(x_0)$$
para algunos $k\in\mathbb R$. Al extender esta, obtenemos:
$$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+a(-k-2x_0)x^2+a(2kx_0+x_0^2)x-ax_0^2k+ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d$$
Ahora, podemos ver que el primer término y el término constante va a ser inútil para nosotros, así que si comparamos los coeficientes de $x^2$ $x$ para obtener:
$$b=a(-k-2x_0)$$
$$c=a(2kx_0+x_0^2)$$
Si multiplicamos la primera ecuación por $2x_0$ y agregarlo a la segunda ecuación, obtenemos:
$$2x_0b + c = ax_0^2 - 4ax_0^2$$
$$3ax_0^2 + 2x_0b + c = 0$$
Ahora hemos sencillo de resolver para $x_0$, y esto nos dice donde podemos escribir $f$ en el caso "doble forma de la raíz". En particular, sucede que el lado izquierdo de la ecuación es $f'(x_0)$, que es una muy buena conexión, ya que llegamos allí, sin diferenciar.
Usted puede generalizar a cualquier grado del polinomio, pero si se utiliza este método en un polinomio de grado $n$, termina tratando de resolver:
$$f(x)=a(x-x_0)^2(x-k_1)(x-k_2)\ldots(x-k_{n-2})+f(x_0)$$
que, después de la expansión y la identificación de los coeficientes de $x^i$ rendimiento $n-1$ ecuaciones simultáneas y, después de la eliminación de la irrelevante $k_i$ términos, te quedará algo equivalente a $f'(x_0)=0$ - y los derivados probablemente son más fáciles.
Raíces cuadradas con Un Explícito límite Superior:
Útil, podemos probar el enlazado $\sqrt{x+a}\leq \sqrt{x}+\frac{a}{2\sqrt{x}}$ sin cálculo. En particular, si quieres demostrar que, simplemente aviso de que $$x+a \leq x+a+\frac{a^2}{4x}=\left(\sqrt{x}+\frac{a}{2\sqrt{x}}\right)^2$$
y tomar la raíz cuadrada de ambos lados. Usando esto le permitirá optimizar algo como
$$f(x)=\sqrt{x}+\alpha\sqrt{1-x}$$
señalando que la identidad implica
$$f(x+x_0)=f(x)+x_0\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\alpha}{2\sqrt{1-x}}\right).$$
Ahora, si tan sólo pudiéramos conseguir que el coeficiente de $x_0$$0$, esto podría leerse $f(x+x_0)\leq f(x)$, lo que estaría genial! Podemos establecer el coeficiente de $x_0$ $0$a conseguir que, en un máximo que debe tener
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\alpha}{2\sqrt{1-x}}=0$$
que los rendimientos, después de algunos trabajos:
$$4x=\frac{4(1-x)}{\alpha}$$
que puede ser fácilmente resuelto a encontrar el máximo. Este método se puede extender a cualquier suma de factores lineales en virtud de las raíces cuadradas (aunque de nuevo, esto puede implicar la terrible polinomios si se toma demasiado lejos) y no hay ninguna razón particular que no se podía tratar de extenderlo a los polinomios en virtud de las raíces cuadradas (pero entonces se obtiene un polinomio límite superior) - o incluso, de manera más general, a las funciones algebraicas - pero esto empieza a involucrar unwieldily cálculos y irresoluble polinomios con bastante rapidez.
Un Problema Clásico:
Ahora, por ejemplo, que no implican grandes cantidades de álgebra, pero es muy específica. No estoy seguro de que este problema viene de, pero es muy elegante:
Supongamos que usted está a una distancia de $d_0$ lejos de un río, que sigue una línea recta y usted desea conseguir un poco de agua del río y, a continuación, ir a pie a su casa, que está a una distancia de $k$ aguas arriba y $d_1$ lejos del río. ¿Cuál es la ruta más corta que puede tomar?
Ingenuamente, se pueden resolver mediante la redacción como tratando de encontrar el punto en el río $(c,0)$ minimización de la suma de sus distancias a$(0,d_0)$$(k,d_1)$, y usted puede hacer esto con el cálculo (o de las técnicas algebraicas he estado hablando debe trabajar demasiado). Sin embargo, una encantadora idea es que no cambiamos el problema si nos reflejan la casa sobre el río hasta el punto de $(k,-d_1)$ - de hecho, si nos fijamos en la expresión para la suma de la distancia de $(c,0)$ a cada punto, el signo de la segunda coordenada es irrelevante. Pero esta modificación hace que la cuestión fácil! El camino más corto de $(0,d_0)$ $(k,-d_1)$es una línea, y este se cruza el río en algún punto de $(c,0)$, que resuelve el problema de minimización, ya que ningún camino puede ser más corto que el de una línea.
