Operaciones con números ordinales

Question

1. Dejemos que $w$ sea un ordinal para un conjunto denumerable. Demostrar que $(w+w)w=ww$

2. Dejemos que $A$ y $B$ sean conjuntos. Sea $A$ ser ordenado por $G$ y $B$ por $H$ . Sea $f$ sea un isomorfismo tal que $xy$ en $G$ implica $f(x)f(y)$ en $H$ . Ahora, reordena $A$ por una relación de orden $G'$ . Entonces, ¿existe un isomorfismo $f'$ tal que $xy$ en $G'$ implica $f'(x)f'(y)$ en $H$ ?

Estimado Asaf

Creo que el libro que estoy estudiando no es realmente bueno. Siento mucho que cada vez me salgan preguntas fáciles, parece que estoy usando esta web para hacer mis deberes rápidamente, pero no es así. Quiero que sepan que estoy estudiando teoría de conjuntos por mi cuenta y este libro solo da algunas definiciones y deja los teoremas importantes en ejercicios. Os juro que pongo preguntas que he intentado resolver al menos durante una hora o un día.. Además, aunque he resuelto problemas, para algunos problemas, no me gustó la forma en que resolví porque es un poco desordenado por lo que quería saber cómo resolver los problemas fácilmente

Answer 1

El resultado es falso. Un contraejemplo se obtiene tomando $w=\omega^2+\omega+1$ .

Nota $w+w=\omega^2\cdot2+\omega+1$ . Ahora, añadiendo $z=\omega^2\cdot2+\omega+1$ a sí mismo $\omega$ veces es $\omega^3$ y añadiendo $z$ a sí mismo $\omega^2$ tiempos es por lo tanto $\omega^4$ .

Entonces $(w+w)w=z(\omega^2+\omega+1)=\omega^4+\omega^3+\omega^2\cdot2+\omega+1$ .

Por otro lado, $ww=\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1<(w+w)w$ .

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En general, se pueden obtener muchos contraejemplos considerando $w$ cuyo Cantor normal incluye indecomponibles de varios tipos, no todos ellos ordinales límite.

Answer 2

Supongo que por $w$ quieres decir $\omega$ .

Entonces, mostrando $\omega\omega=(\omega+\omega)\omega$ es relativamente fácil.

El primero es el conjunto $\omega\times\omega$ el segundo es $(\omega\times\{0\}\cup(\omega\times\{1\}))\times\omega$ , ambas con orden antilexicográfico, es decir, la segunda coordenada es más importante.

El isomorfismo entre los dos conjuntos es $(a,2b)\mapsto((a,0),b)$ y $(a,2b+1)\mapsto((a,1),b)$ .

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De hecho, esto se puede visualizar muy fácilmente $\alpha\times\beta$ significa que se toma el ordinal $\beta$ y sustituir cada elemento por una copia de $\alpha$ . Es decir $\alpha\beta$ consiste en " $\beta$ -muchos" ejemplares de $\alpha$ que se ponen uno tras otro, y se ordenan según $\beta$ .

En este sentido $\omega\omega$ consiste en $\omega$ copias de $\omega$ .

¿Qué es? $(\omega+\omega)\omega$ ? He puesto varios pares de copias de $\omega$ después de la otra. Esto es lo mismo que $2\omega$ copias de $\omega$ pero $2\omega=\omega$ . (Si reemplazo cada elemento en $\omega$ por un par de elementos, entonces no cambio el tipo de orden).

De momento no tengo tiempo para hacer un bonito dibujo que lo ilustre, pero esto también podría ayudar:

• $\omega$ parece $\ast \ast \ast \cdots$
• $2$ es simplemente los dos puntos $(\circ \circ)$
• Para conseguir $2\omega$ simplemente sustituimos cada $\ast$ por $(\circ \circ)$ y obtenemos $(\circ \circ) (\circ \circ) (\circ \circ) \cdots$
• Por supuesto, podemos quitar los paréntesis (son sólo una cosa auxiliar para mostrar dónde están las copias de $2$ fueron añadidos), así que esto es simplemente $\circ \circ \circ \circ \circ \circ \cdots$
• Las dos cosas tienen el mismo aspecto, sólo que hemos utilizado $\ast$ para denotar los elementos de una de ellas y $\circ$ en otro.

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Se puede demostrar lo mismo utilizando algunas reglas de la aritmética cardinal, es decir, se tiene $\omega+\omega=\omega\cdot 2$ por lo que basta con demostrar que $2\omega=\omega$ (que puede ser más fácil para usted). Si sabes estas dos cosas tienes $$(\omega+\omega)\omega=(\omega2)\omega=\omega(2\omega)=\omega\omega.$$

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Lo que es más importante, me gustaría pedirle que aclare la segunda parte (tal vez sería mejor publicarla como una pregunta separada).

Tienes algo así:

Dejemos que $A$ y $B$ sean conjuntos. Sea $A$ ser ordenado por $\le_G$ y $B$ por $\le_H$ . Sea $f$ sea un isomorfismo tal que $x\le_G y$ implica $f(x)\le_H f(y)$ . Ahora, reordena $A$ por una relación de orden $\le_{G'}$ . Entonces, ¿existe un isomorfismo $f'$ tal que $x\le_{G'}y$ implica $f'(x)\le_H f'(y)$ ?

¿Qué quiere decir exactamente con isomorfismo? Si te refieres a isomorfismo de conjuntos ordenados $(A,\le_G)$ y $(B,\le_H)$ entonces la definición de isomorfismo incluye que $x\le_G y$ $\Leftrightarrow$ $f(x)\le_H f(y)$ . Así que su frase tal que $x\le_G y$ implica $f(x)\le_H f(y)$ parece ser redundante. Ahora bien, si no hay condiciones en $\le_{G'}$ En el fondo, lo que se pregunta es si dos órdenes del mismo conjunto deben ser isomorfos. Esto ciertamente no es cierto. (Pero quizás he entendido mal la pregunta).