En la pregunta, $A \in \mathbb R^{m\times n}$ es una matriz, y $\det(\cdot)$ denota el factor determinante.
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poiuytrez
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Resumen: Si $n \neq m$,$0$, mientras que el otro va a ser distinto de cero si las filas o las columnas de a $A$ son linealmente independientes. Si $n = m$, los factores determinantes son iguales y ambos podrán ser distinto de cero iff $A$ es invertible.
Para las partes a, B y C a continuación, suponga $m \neq n$.
A) la Prueba de "una se $0$":
$A B$'s columnas son una combinación lineal de las columnas de a $A$. Por lo tanto si $A B$ tiene más columnas de las $A$, entonces las columnas de a $A B$ no va a ser linealmente independientes.
En $A A^T$$A^T A$, uno de estos tendrá más columnas de las $A$ o $A^T$ respectivamente. Por ello, para una de estas columnas no serán linealmente independientes. Ahora ambos son matrices cuadradas, así, uno de estos será singular, lo $\det(A A^T) = 0$ o $\det(A^T A) = 0$.
B) la Prueba de "la otra va a ser distinto de cero sólo si las filas o las columnas de a $A$ son linealmente independientes", es decir, la prueba de "la otra será cero si las filas y las columnas de a $A$ no son linealmente independientes":
Ahora $A (c_1 {\bf x} + c_2 {\bf y}) = c_1 (A {\bf x}) + c_2 (A {\bf y})$, más general, una matriz veces una combinación lineal de los vectores columna es combinación lineal de la matriz de tiempos de los vectores columna.
El $i$-ésima columna de a $A B$'s de columnas $A$ veces $i$-ésima columna de a $B$. Por lo tanto si $i$-ésima columna de a $B$ es una combinación lineal de $B$'s de las otras columnas, entonces el $i$-ésima columna de a $A B$ será una combinación lineal de $A B$'s de las otras columnas.
Por lo tanto, si las columnas de a $B$ no son linealmente independientes, entonces las columnas de a $A B$ no va a ser linealmente independientes.
Si las columnas y filas de $A$ no son linealmente independientes, entonces las columnas de a $A$ y las columnas de a $A^T$ no va a ser linealmente independientes, por lo tanto las columnas de a $A A^T$ $A^T A$ no va a ser linealmente independientes, por lo que ambas son singulares, por lo $\det(A A^T) = 0 = \det(A^T A)$.
C) la Prueba de "la otra va a ser distinto de cero si las filas o las columnas de a $A$ son linealmente independientes", es decir, si el resto es 0, entonces las filas y las columnas de a $A$ no son linealmente independientes.
El otro es cero iff $\det(A^T A) = 0 = \det(A A^T) = 0$.
Suponga que $\det(A^T A) = 0$, lo $A^T A$ es singular, por lo tanto existe una no cero ${\bf x}$ tal que $A^T A {\bf x} = {\bf 0}$.
Deje ${\bf b} = A {\bf x}$, lo ${\bf b}^T = {\bf x}^T A^T$, lo ${\bf x}^T A^T A {\bf x} = {\bf b}^T {\bf b} = ||{\bf b}||^2$. Pero ${\bf x}^T A^T A {\bf x} = {\bf x}^T {\bf 0} = 0$. Ahora $||{\bf b}||^2 = 0$ fib ${\bf b} = {\bf 0}$ para cualquier vector ${\bf b}$. Por lo tanto $A {\bf x} = {\bf 0}$ donde $x$ es distinto de cero. Por lo tanto las columnas de a $A$ no son linealmente independientes.
Del mismo modo, si $\det(A A^T) = 0$, entonces las columnas de a $A^T$ no son linealmente independientes, lo que implica que las filas de a $A$ no son linealmente independientes.
Por lo tanto si $\det(A^T A) = 0 = \det(A A^T) = 0$, entonces las filas y las columnas de a $A$ no son linealmente independientes.
D) la Prueba de la "Si $n = m$, los factores determinantes son iguales y ambos podrán ser distinto de cero iff $A$ es invertible."
Suponga $m = n$, lo $A$ $A^T$ son matrices cuadradas, lo $\det(A A^T) = \det(A) \det(A^T) = \det(A)\det(A) = \det(A)^2$.
Del mismo modo $\det(A^T A) = \det(A)^2$.
Ahora $\det(A^T A) = 0$ fib $\det(A)^2 = 0$ fib $\det(A) = 0$ fib $A$ es singular.
egreg
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Caso 1: $A$ es una matriz cuadrada
Si $A$ es una matriz cuadrada, entonces $\det(A^T)=\det(A)$, por lo que $$ \det(AA^T)=\det(A)\det(A^T)=(\det(A))^2 $$ y lo mismo vale para los $\det(A^TA)$.
Caso 2: $A$ no es una matriz cuadrada
Supongamos $A$$m\times n$,$m\ne n$. Si $m>n$, entonces el rango de a $AA^T$ es en la mayoría de las $n$ y, por tanto,$\det(AA^T)=0$. Si $A$ rango $n$, $A^TA$ rango $n$ (véase más adelante), por lo $\det(A^TA)\ne0$. Del mismo modo, si $m<n$.
Por lo tanto, la igualdad de $\det(AA^T)=\det(A^TA)$ sólo se mantiene si y sólo si el rango de $A$ es estrictamente menor que $\min\{m,n\}$.
Ejercicio
El rango de $A$ es igual al rango de $AA^T$ e de $A^TA$.
Luboš Motl
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La declaración no es cierto para los genéricos de matrices rectangulares $m\neq n$, incluso a pesar de que ambas expresiones $\det(AA^T)$, $\det (A^T T)$ están bien definidas.
Por ejemplo, si $A$ es la fila que contiene las entradas de $(a,b)$, $AA^T$ $1\times 1$ matriz con la entrada de $a^2+b^2$ cuyo determinante es $a^2+b^2$.
Por otro lado, $A^TA$ $2\times 2$ matriz con las filas $(a^2,ab)$, $(ab,b^2)$ cuyo determinante es cero. No es de extrañar ya que las filas no son linealmente independientes. Tenga en cuenta que los términos de este determinante, $a^2 b^2$, incluso no tiene la misma "unidades" como los términos en el primer determinante. La desaparición de las "grandes" entre los dos matrices mantiene en general.
Para $m=n$, $\det A=\det A^T$ está bien definido y se puede hacer uso de $$\det(AA^T)=\det(A^T A) = \det(A)\det(A^T)=[\det(A)]^2$$ así, la identidad se mantiene.
Andy
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21
Para $n\times n$ matrices $A,B$, usted tiene que $\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\det(BA)$. Sin embargo, para los no de las matrices cuadradas, sin ser capaz de tomar el determinante de las condiciones individuales, no se puede hacer el cambio en este camino.
Sin embargo, mirando característica polinomios, se puede decir algo bueno acerca de cómo $AB$ $BA$ se refieren. Escribir $p_A(t)=\det(tI-A)$, por lo que el polinomio característico puede ser pensado como una extensión de determinante. A continuación, $p_{AB}(t)$ $p_{BA}(t)$ se diferencian sólo por una potencia de $t$ (cualquiera que sea la potencia que se requiere para hacer los polinomios del mismo grado). En particular, comparten ellos mismos valores propios, y son de la misma multiplicidad, con la excepción de $0$. Así, mientras que uno de $AB$ $BA$ tendrá cero determinante, aún están muy estrechamente relacionados.
