Cuando es un $p$-adic unidad un poder de $m$-th

Question

Dadas $x\in\mathbb{Q}_p^*$, podemos escribir $x=p^nu$ donde $n\in\mathbb{Z}$ y $u\in\mathbb{Z}_p^*$. Entonces podemos decidir si es o no $x$ una plaza mirando $n$ y $u$. Si $p\neq 2$ $x$ es una plaza si y sólo si el "primer componente" de $x$ es una plaza como miembro de $\mathbb{F}_p^*$ y $n$ es uniforme. Si $p=2$ $x$ es un cuadrado si y solamente si es $n$ y $u\in1+8\mathbb{Z}_p$.

¿Hay una caracterización similar de cuando $x\in\mathbb{Q}_p^*$ es un poder de $m$-th?

Answer 1

Una condición necesaria es $m\mid n$ $u$ $m$- ésima potencia en $\mathbb F_p$. Así que la pregunta real es:

Deje $a\in \mathbb Z_p$. Cuando se $1+pa$ $m$- ésima potencia en $\mathbb Z_p$ ?

Editar La sugerencia de Jyrki en los comentarios me hace pensar que la solución general. Deje $d=v_p(m)$. Entonces:

Reclamo :

Si $p>2$, $1+pa$ $m$- ésima potencia si y sólo si $v_p(a)\ge d$.

Si $p=2$, $1+pa$ $m$- ésima potencia si y sólo si $v_p(a)\ge d+1$.

Deje $f_m : 1+p\mathbb Z_p\to 1+p\mathbb Z_p$ $m$- th mapa de poder. Este es un grupo multiplicativo homomorphism.

Lema Deje $r\ge 1$. Tenemos $$f_m(1+p^r\mathbb Z_p)=1+p^{r+\epsilon}\mathbb Z_p$$ con

1. $\epsilon=0$ si $v_p(m)=0$;

2. $\epsilon=1$ si $m=p>2$ o si $m=p=2$$r\ge 2$;

3. $\epsilon=2$ si $m=p=2$$r=1$.

Prueba. Que $f_m(1+p^r\mathbb Z_p)\subseteq 1+p^{r+\epsilon}\mathbb Z_p$ es clara. Por el contrario, la revisión de una $a\in \mathbb Z_p$. Queremos resolver una ecuación $$(1+p^rx)^m=1+p^{r+\epsilon}a$$ con $x\in \mathbb Z_p$. En los casos 1 y 2, es equivalente a $$ p^{rm-r-\epsilon}x^m+mp^{rm-2r-\epsilon}x^{m-1}+\cdots+mp^{-\epsilon}x-a=0. $$ La ecuación anterior modulo $p$ tiene el grado uno, por lo tanto (como polinomio en $\mathbb F_p[X]$) tiene una raíz simple en $\mathbb F_p$, así que por Hensel del lexema tiene una (única) solución en $\mathbb Z_p$.

El caso 3 es tratado en esta pregunta.

La prueba de la demanda: se Descomponen $m=p^dq$ $q$ primer a $p$. A continuación,$f_m=f_{p^r}\circ f_q$. Por el caso 1, se reduce al caso de $m=p^d$. Llegamos a la conclusión fácil de inducción en $d$ casos de uso 2 y 3.

Comentario Esta pregunta sin duda puede ser resuelto con más involucrados material como formal, grupos y isogenies.

Answer 2

Vamos a empezar desde @Cantlog la respuesta, la cual señala que la dificultad está en saber cuándo $1+pa$ $m$- ésima potencia. La respuesta depende fuertemente de la divisibilidad de la $m$$p$. En particular, si $m$ es indivisible por $p$, $1+pa$ es siempre un $m$-ésima potencia. En efecto, como @Jyrki señala, $(1+pa)^z$ tiene un significado bien definido para cualquier $p$-ádico entero $z$. Para, si $\{n_i\}$ es una secuencia de enteros positivos con $p$-ádico límite igual a $z$, una muestra (es un buen ejercicio) que $\{(1+pa)^{n_i}\}$ es de Cauchy, y se definen $(1+pa)^z$ a ser el límite.

Al $m$ es indivisible por $p$, $1/m$ es una $p$-ádico entero, y por los comentarios de arriba, ya está bueno para ir. Así que la cuestión se reduce a lo que el $pa$'s son tales que $1+pa$ $p$- ésima potencia. Al $p>2$, se puede ver que $(1+pb)^p=1+p^2bu$ donde $u$ $p$- ádico de la unidad. Esta también es una sencilla consecuencia del Teorema del Binomio. Así que, mientras $a$ sí es divisible por $p$, $1+pa$ es una $p$-ésima potencia. La historia es un poco más complicado para $p=2$, debido a la expansión de la $(1+z)^2$ implica tan pocos términos. Pero si $a$ $p$- ádico de la unidad, a continuación, $1+pa$ definitivamente no es un $p$-ésima potencia.

Answer 3

Respuesta Incompleta: Al menos para la raíz cúbica caso, esto - como la raíz cuadrada de caso - se deduce del teorema de Katok (2007). Usted también puede obtener buenos aproximaciones en tanto la raíz cuadrada caso y la raíz cúbica caso.

Para más detalles sobre el de arriba, ver (enlace):

Ignacio, P. S., Addawe, J., Alangui, W., & Sustentables, J. (2013). Cálculo de Cuadrados y Raíces cúbicas de $p$-Ádico los Números a través de Newton-Raphson Método. Revista de Investigación en Matemáticas, 5(2), pág. 31.