Prueba de 1 = 0 por Inducción Matemática sobre los Límites?

Question

Me atoré con un problema que surgen en mi mente, mientras que el aprendizaje de los límites. Yo todavía soy un estudiante de la escuela secundaria.

Definir $P(m)$ la declaración de: $\quad \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{m})=0$

La declaración tiene por $m = 1$: $\quad \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.

Suponga que $P(k)$ mantiene para algunos $k$. A fin de poner $m = k$: $\quad \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{k})=0$.

Vamos a comprobar $P(k + 1)$: $\quad \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{k+1}) =\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{k}+\frac{1}{n})$

$=\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{k}) +\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}$

$=0+0=0$.

Ahora se ha demostrado por inducción matemática de que la declaración se aplica a todos los naturales m.

Si dejamos $m=n$,$\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{n})=0 \tag{*}$.

Sin embargo, $\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{n}=1 \implies \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{n})=1 \tag{$\daga$}$.

A continuación, $(*) \, \& \, (\dagger)$ rendimiento $1=0$?

¿Alguien puede explicar esto? gracias.

Answer 1

El problema es que la declaración que demostró ser fijo $m$, y a continuación, deje que se varían.

Lo que sigue es una forma de ver este problema: Reescribir cosas como: $$\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{m}=\frac{m}{n}$$

Entonces lo que has demostrado por inducción es que para cualquier fijo $m$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{m}{n}=\left(\lim_{n\rightarrow \infty}m\right)\cdot\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\right)=m\cdot 0=0.$$ Esto está muy bien, ya que cuando los límites existen, podemos dividir anterior. Sin embargo, en la segunda deducción intenta hacer lo mismo $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n}=\left(\lim_{n\rightarrow \infty}n\right)\cdot\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\right)=n\cdot 0=0.$$ This doesn't make any sense now, because $$ n ya no es fija, y el límite no existe. (Sólo tenemos la multiplicación de los bienes, cuando ambos límites existen)

Espero que ayude,

Answer 2

$n$ es una variable libre del plazo $n$ que se convierte en obligado durante la sustitución de $m=n$ en

$\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{m})=0$

por lo que la sustitución no es lógicamente válido.