Un grupo de mentira compacto tiene descendente condición de cadena en subgrupos cerrados.

Question

La proposición: Vamos a $G$ ser un compacto de Lie del grupo y vamos a $$G\supset G_1\supset G_2\supset\ldots$$ be a chain of closed subgroups $G_i$ of $G$. A continuación, esta cadena debe finalmente se estabilice.

Pregunta: La indicación para la prueba es que $G_i$ están cerrados colectores y si $G_{i+1}\neq G_i$, $\dim G_{i+1}<\dim G_i$ o $G_{i+1}$ tiene menos componentes conectados de $G_i$. Entiendo primera parte ya cerrado subgrupo compacto de Lie grupo subgrupo que es también (embedded) submanifold, pero no entiendo la segunda parte de la pista, es decir,. si $G_{i+1}\neq G_i$, $\dim G_{i+1}<\dim G_i$ o $G_{i+1}$ tiene menos componentes conectados de $G_i$. Puede usted por favor me ayude con eso? Y creo que el resto de la prueba (por favor corríjanme si estoy equivocado o si me he perdido algo): Puesto que las dimensiones son finitos se debe estabilizar, es decir. existen $n_0$ tal que $\dim G_{n_0}=\dim G_{i}=\dim G_{i+1}=\ldots=constant$ Pero luego (de la pista) el número de componentes de $G_{i+1}$ $<$ número de componentes de $G_i$ $<$ número de componentes de $G_{n_0}$. Desde $G_{n_0}$ está cerrado en $G$ es compacto y por lo tanto tiene un número finito de componentes conectados (desde compacto y conectado localmente topológica del espacio tiene más de un número finito de componentes conectados). Por lo que se deduce que con el tiempo este número también debe estabilizar y proposición es verdadera. Gracias!

Answer 1

Ya que su argumento está perfectamente bien, sólo voy a explicar el punto de preguntar acerca de. En pocas palabras, esto se deduce del hecho de que una Mentira subgrupo con $\dim{G_{i+1}} = \dim{G_{i}}$ es un abierto de los subgrupos.

Buenos ejemplos a tener en cuenta son la inclusión de $SO(n)$ $O(n)$ o subgrupos de $SO(n) \times M$ de la forma $SO(n) \times N$ donde $N$ se ejecuta a través de los subgrupos de un grupo finito $M$.

Un par de generalidades: Observe que el componente conectado a $G^0$ de un local conectado grupo topológico $G$ es un subgrupo abierto (tomar conectado a un vecindario $U$ de la identidad y la mirada en el subgrupo de $H = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} U^n$ generada: está conectado, en abierto y por lo tanto también es cerrado, por lo tanto $G^0 = H$ por conexión, ver aquí para más detalles). Por otra parte, $G^0$ es normal debido a que $gG^0 g^{-1}$ está conectado a un subgrupo que contiene la identidad. El cociente grupo $\pi_0 G = G/G^0$ $G^0$- cosets consta de los componentes conectados de $G$ y tiene la topología discreta ya que el cociente mapa de $G \to G/G^0$ es abierto y desde $G^0$ está abierto.

Volviendo a tu pregunta, la dimensión requisito de $\dim{G_{i+1}} = \dim{G_i}$ junto con el hecho de que la Mentira álgebra $\mathfrak{h}$ de un subgrupo cerrado $H$ incrusta como una Mentira subalgebra de $\mathfrak{g}= \operatorname{Lie}{G}$, implica que el $\mathfrak{g}_{i+1} = \mathfrak{g}_i$. El mapa exponencial es un local diffeomorphism de $\mathfrak{g}_{i+1} = \mathfrak{g}_i$ para el componente conectado a $G_{i+1}^0$ $G_{i+1}$ e lo $G_{i+1}^0$ es un subgrupo abierto de $G_{i}^0$, lo $G_{i+1}^0 = G_{i}^0$. De ello se desprende que $\pi_{0}G_{i+1} = G_{i+1}/G_{i+1}^0$ es un subgrupo de $\pi_{0}G_i = G_{i}/G_{i}^0$ y ambos grupos son finitos, ya que son compactos y discretos. Pero como he explicado en el segundo párrafo, $\# \pi_0 G_{i+1} = \# (G_{i+1}/G_{i+1}^0)$ es el número de componentes conectados de $G_{i+1}$ y por eso se divide el número de componentes conectados de $G_{i}$.