Encontrar elementos de orden $8$ en $\mathbb{Z}_{8000000}$ .

Question

Quiero encontrar elementos de orden $8$ en $\mathbb{Z}_{8000000}$ .

Sé que los elementos de orden $n$ en un grupo $\mathbb{Z}_m$ es $\phi(n)$ . Pero, ¿cómo puedo aplicar este resultado para un grupo que tiene un número tan grande de elementos?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Desde $Z_{8000000}$ es cíclico, contiene exactamente $\phi(8)=4$ elementos de orden $8$ . Vemos que $1000000\in Z_{8000000}$ es uno de estos elementos. También es el generador del único subgrupo de $Z_{8000000}$ de orden $8$ . Los otros tres elementos del orden $8$ son $7000000$ , $5000000$ y $3000000$ . En general, los generadores de este subgrupo único son los elementos $n\cdot 1000000$ , donde $\gcd(n,8)=1$ .

NOTA: $\phi(8000000)$ sería el número de generadores de $Z_{8000000}$ . Calculamos $\phi(8)$ porque nos interesa el número de generadores del subgrupo de $Z_{8000000}$ de tamaño $8$ frente a todo el grupo, que es el tamaño $8000000$ .

Answer 2

El orden de $\bar m$ en $\mathbb{Z}_{8000000}$ es $\frac{8000000}{gcd(m,8000000)}$ . Esto es $8$ si y sólo si

$$gcd(m,8000000)=1000000$$

Así, $m$ debe ser un múltiplo impar de $1000000$ .

Answer 3

Hay $4$ elementos de orden $8$ . Esto es porque (8)=4, y estos elementos son $1,3,5,7$ . Así que los generadores de $8000000$ de orden $8$ son $1000000,3000000,5000000$ y $7000000$ .