Ecuación con límite

Question

$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2+...+\sqrt{x^n}}}}=2$

Nunca había enfrentado a problemas como este. Deme, por favor, un poco indirecta.

Answer 1

Consejo. $$f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+\sqrt{x^4+\ldots}}}} $ $ es una función continua y creciente en $\mathbb{R}^+$, así como: %#% $ de #% es suficiente para ver que $$ f_k(x) = \sqrt{x^k+\sqrt{x^{k+1}+\sqrt{x^{k+2}+\ldots}}}$, o: $f(4)=3$ $ o: $$ f_1(4) = 2\cdot 4^0+1, $ $ o: $$ f_2(4) = f_1(4)^2-4 = (2\cdot 4^0+1)^2-2^2=4+1 $ $ o: $$ f_3(4)=f_2(4)^2-4^2 = (4+1)^2-4^2 = 2\cdot 4+1 $ $ o: patrón de #% A de $$ f_4(4)=f_3(4)^2-4^3 = (2\cdot 4+1)^2 - 4^3 = 4^2+1 $ $ %#% surgido. Tenga en cuenta que

$$ f_5(4)=f_4(4)^2-4^4 = (4^2+1)^2-(4^2)^2 = 2\cdot 4^2+1 $$

son equivalentes, desde %#% $ #%

Por lo que es suficiente para demostrar que

$\ldots$$

Sostenga apretando.

Answer 2

Pues bien, tenemos que empezar por alguna parte, para que así podamos adivinar y comprobar. Hice el siguiente programa de Python:

from math import sqrt
def find_answer(x, n):
    '''Calculates the expression in the limit for given x and n'''
    answer = 0
    for power in range(n, -1, -1):
        answer += x**power
        answer = sqrt(answer)
    return answer

# Here, I guess x from x=2 to x=10 and use n=100 so I am close to the actual limit
for x in range(2, 10):
    print(x, find_answer(x, 100))

$x=4$ me da una respuesta de $2.0$, por lo que parece que la respuesta a este problema es $x=4$, o al menos un $x$ muy cerca de $4$.

Answer 3

Estamos tratando de resolver $x$ donde $\lim_{n\to\infty}a_n=2$ y $a_n=\sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\dots x^n}}}}$

Las posibles soluciones triviales son $x=0,1$, que no trabajan.

$x$

$$\sqrt{1+\sqrt{x+\sqrt{x^2+\sqrt{\dots x^n}}}}=\sqrt{1+\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\frac1x+\sqrt{\frac1{x^4}+\sqrt{\dots x^n}}}}}}$$

$$<\sqrt{1+\sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{\dots+1}}}}\tag{If $ x > 1 $}$ $

$$=\sqrt{1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\sqrt{x}}$$

Así que si establece que igual a $2$, tenemos

$$x>\left(\frac6{1+\sqrt{5}}\right)^2=\frac{27-9\sqrt5}2$$