¿Es una curva racional de una variedad abeliana?

Question

¿No es cierto racionales curvas contenidas en una variedad abeliana? ¿Si bien es cierto, es porque variedades abelianas no son uniruled? ¿Cómo sé si una variedad abelian no es uniruled?

Answer 1

¿Por qué cuando la curva racional es singular?

Answer 2

Más de $\mathbb C$ se puede argumentar de la siguiente manera. Supongamos que usted tiene un morfismos $\mathbb P^1(\mathbb C) \to A $ ($A$= abelian variedad ). Desde $\mathbb P^1(\mathbb C) $ es de los morfismos ascensores para la universalización de la cobertura de $A$, afín espacio de $\mathbb C^n$. Pero desde $\mathbb P^1(\mathbb C)$ es completa y conectado, el ascensor para afín espacio debe ser constante y por lo tanto la original de morfismos es constante.

Las respuestas por parte de Carlos, Felipe y jvp son mejores porque tienen que trabajar más arbitrario de los campos, pero desde que el argumento dado es tan ridículamente primaria (introducción de la topología), pensé que podría ser de interés ( también funciona en el holomorphic categoría si $A$ es un complejo de toro, tal vez no algebraicas).

Answer 3

Sí, un abelian variedad $A$ no contiene racional curvas.

Supongo que no y vamos a $f: \mathbb P^1 \to A$ ser un no-constante de morfismos.

Si $f$ es inseparable, entonces debe ser la composición de algún poder de Frobenius de $\mathbb P^1$, con un no-constante separables mapa de $g: \mathbb P^1 \to A$. Por lo tanto podemos suponer que la $f$ es separable, es decir, $df : T \mathbb P^1 \to f^{\ast} T A$ no es el cero de morfismos. Por lo tanto, el general $1$forma $\omega \in H^0(A,\Omega^1)$ dará lugar a un valor distinto de cero $1$forma $f^{\ast} \omega$$\mathbb P^1$. Contradicción.

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Observaciones:

1. Anteriormente, he ampliado la respuesta original "Si $C$ es una curva en un abelian variedad, a continuación, $C$ tiene regular $1$-formas procedentes de $1$formularios en $A$" con el fin de incorporar Voloch comentario acerca de la característica positiva.
2. El mismo argumento muestra que no algebraicas compacto complejo tori no contienen racional curvas.
3. Puesto que más de la $\mathbb C$ el Albanese variedad de un pacto de Kahler colector $X$ es generalmente definido como $H^0(X, Omega^1)^{\ast} / H_1(X, \mathbb Z)$, el argumento anterior es esencialmente el mismo como Voloch cuando la característica cero.
4. Deje $X$ ser un suave proyectivas de la variedad y de la $f:X \to A$ ser una de morfismos. Si $df$ ha máximo rango, a continuación, $H^0(X,{\Omega^i}) \neq 0$ por cada $i \le \dim X$. Por lo tanto una abelian variedad no contiene subvariedades sin formas regulares en cualquier grado particular.

Answer 4

No hay curvas racionales de una variedad abeliana, esto es mucho más fuerte que de no ser uniruled. Si hay un mapa $P^1 \to A$, $A$ abeliano, factor del mapa a través de la variedad Albanese de $P^1$, por definición. Sin embargo, para curvas, la Albanese es el jacobiano (de la teoría general de jacobiano) y el jacobiano de $P^1$ es un punto.

Answer 5

No es uno. Referencia es notas de Milne, Proposición 3.9. Más es cierto, 3.10 de apoyo en las mismas notas es que cualquier mapa racional de una variedad de unirational una variedad abelian es constante.