Una desigualdad difícil con números complejos

Question

Supongamos que $z_1,\ldots,z_n$ son números complejos con la propiedad que existe un % constante $C$tal que $$\big|z_1^r+\cdots+z_n^r\big|\leqslant C$$ for all integers $ r\geqslant0$. Show that for all $i$ we have $\left|z_i\right|\leqslant1$.

Bastante seguro necesitará algún tipo de los argumentos analíticos del perfume, esta declaración «para todos r de números enteros no negativos' es muy fuerte, de lo contrario apenas se celebrará esta desigualdad.

Answer 1

La forma más fácil (en el sentido de "obra menor") manera para probarlo utiliza un poquito de análisis complejo.

Considerar la función

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{1 - z_i\cdot z}.$$

Se trata de una función meromorphic con polos simples en $\frac{1}{z_i},\, 1 \leqslant i \leqslant n$ y en ningún otro lugar. La serie de Taylor de $f$ con centro $0$,

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \sum_{r=0}^\infty z_i^r\cdot z^r = \sum_{r=0}^\infty \left(\sum_{i=1}^n z_i^r\right)z^r,$$

por lo tanto tiene radio de convergencia

$$R = \min_{1\leqslant i\leqslant n} \left\lvert \frac{1}{z_i}\right\rvert = \frac{1}{\max\limits_{1\leqslant i \leqslant n} \lvert z_i\rvert}.$$

Pero la suposición es que los coeficientes de la serie de Taylor son limitados, por lo tanto el radio de convergencia es menos $1$.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial. Supongamos sin pérdida de generalidad que $z_1$ tiene valor absoluto máximo entre $z_1, \dots, z_n$. Si asumimos que el $|z_1| > |z_i|$ % todo $i=2, \dots, n$es fácil ver que $|z_1| \leq 1$.

De lo contrario, Supongamos por contradicción $|z_1| > 1$.

Ahora, para todos los $r \geq 1$ la siguiente desigualdad tiene %#% $ #%

dividiendo por $$C \geq |z_1^r + \dots + z_n^r| \geq |z_1|^r - |z_2|^r - \dots - |z_n|^r$ obtenemos

$|z_1|^r$$

envío de $$\frac{C}{|z_1|^r} \geq 1 -\frac{|z_2|^r}{|z_1|^r} - \dots \frac{|z_n|^r}{|z_1|^r}$ obtenemos el % de contradicción $r \to + \infty$.

Tal vez el caso general puede tratar con este caso en particular.