Bonito problema! Casi me odio a publicar una solución. Si te gustan los puzzles y no poner en ningún momento en este uno, sin embargo, os animo a no leer más.
Imagine escribir los números en $A$ sobre una pila de tarjetas, un número por tarjeta. Escribimos los números de $B$ en una pila separada, de nuevo uno por tarjeta. Nosotros, a continuación, de forma recursiva definir una secuencia $s_j$ como sigue:
Valor inicial: $s_0=0$.
Si $s_j \leq 0$, mirar en la parte superior de la tarjeta de la $A$ pila; deje que el número escrito en él se $a$. Set $s_{j+1} = s_j+a$, y quitar la tarjeta de la pila.
Si $s_j > 0$, mirar en la parte superior de la tarjeta de la $B$ pila; deje que el número escrito en él se $b$. Set $s_{j+1} = s_j-b$, y quitar la tarjeta de la pila.
Continuar hasta que intente sacar una carta de una pila vacía.
Ejemplo: Tomando $A = ( 3,4,5 )$ $B = (1,1,2,3,3)$ como en el OP, tenemos
$$\begin{array}{|rrrrr|}
\hline
s & A \ \mbox{deck} & B \ \mbox{deck} & A \ \mbox{cards used} & B \ \mbox{cards used} \\
\hline
0 & 345 & 11233 & & \\
\hline
3 & 45 & 11233 & 3 & \\
\hline
2 & 45 & 1233 & & 1 \\
\hline
1 & 45 & 233 & & 1 \\
\hline
-1 & 45 & 33 & & 2 \\
\hline
3 & 5 & 33 & 4 & \\
\hline
0 & 5 & 3 & & 3 \\
\hline
5 & & 3 & 5 & \\
\hline
2 & & & & 3 \\
\hline
\end{array}$$
En este punto nos detenemos, porque el siguiente paso sería la de sacar de la $B$ de la cubierta, pero el $B$ cubierta está vacía. (En este ejemplo, el $A$ deck es también vacío, sino que es una coincidencia; que no tienen que ejecutar.)
Lema 1: Los números de $s_j$ están siempre entre el$-n+1$$k$.
Prueba por inducción sobre $j$. El caso base es verdad. Si $s_j$ entre $-n+1$$0$, $s_{j+1}$ entre $-n+k+1$$k$; si $s_j$ entre $1$ $k$ $s_{k+1}$ entre $-n+1$$-n+k$. Dado que los intervalos de $[-n+1, 0]$ $[1, k]$ cubrir cada entero en $[-n+1, k]$, esto muestra que, si $s_j \in [-n+1, k]$ $s_{j+1} \in [-n+1,k]$. $\square$.
Lema 2: La secuencia de $s_j$ repite un valor. (En el ejemplo, los valores $0$, $2$ y $3$ se repite.)
Supongamos que el juego termina cuando tratamos de sacar de la $B$ pila; el otro caso es similar. Así que no debemos cometer $k+1$ intenta sacar de la $B$-pila (incluyendo el intento de que falle). En el momento en que hacemos cada intento, $s_j$ es positivo. Así que tenemos $k+1$ valores positivos de $s_j$. Por el Lema 1, cada uno de estos valores se encuentra en $[1,k]$. Para algún valor debe aparecer más de una vez. $\square$
La prueba de que el resultado Deje $s_i=s_j$. Entonces el conjunto de $A$ tarjetas que se reparten entre el $s_i$ $s_j$ deben tener el mismo valor como el conjunto de $B$ tarjetas. Por ejemplo, si utilizamos el repetido $3$'s en el ejemplo de la secuencia, entonces podemos ver que $-1-1-2+4=0$ o, en otras palabras, $4=1+1+2$. $\square$
