Demostrar que $\mathbb{Z}[x]=\lbrace \sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}:a_i \in \mathbb{Z}, n \geq 0 \rbrace$ no es un anillo ideal principal.

Question

Demuestra que $\mathbb{Z}[x]=\lbrace \sum_{i=0}^{n}{a_ix^i}:a_i \in \mathbb{Z}, n \geq 0 \rbrace$ no es un anillo ideal principal. Sé que la definición de anillo ideal principal es que cada ideal está generado por un solo elemento. Así que mi objetivo es encontrar un ideal que no esté generado por un solo elemento. Pero no consigo encontrar dicho ideal. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar dicho ideal?

Answer 1

Sugerencia: ¿Qué pasa con el ideal $\langle2,x\rangle$ ?

Respondiendo a tu comentario, un ideal principal no es más que un "conjunto de múltiplos" del elemento generador. Así, cada elemento de un ideal principal tiene al generador como divisor, y suele tener propiedades similares. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[x]$ El ideal es $\langle2\rangle$ es el conjunto de polinomios donde cada coeficiente es par, y $\langle x\rangle$ es el conjunto de polinomios de grado mayor que $1$ . Sin embargo, $\langle 2,x\rangle$ se compone de todos los polinomios con término constante par. No parece que los polinomios con esta propiedad tengan un divisor común (si lo tuvieran, ¿cuál sería?), así que este ideal parece que no es principal.

En cierto modo, hay demasiadas restricciones en los elementos del ideal para ser generados por un solo elemento. (El grado es mayor que uno Y el término constante es par.) Para ilustrar la idea de "demasiadas restricciones", consideremos los ideales $I_2=\langle 2,x\rangle$ , $I_3=\langle 4,2x,x^2 \rangle$ , $I_4=\langle 8,4x,2x^2,x^3\rangle, \dots$ Es un hecho (que recuerdo que es razonablemente difícil de probar) que $I_n$ es generado por $n$ elementos y no menos. Esto se debe a la inercia en el número de restricciones de qué elementos de $\mathbb{Z}[x]$ puede estar en cada ideal.

Answer 2

Alternativamente, si $R$ es un PID, entonces cualquier ideal primo (no nulo) es maximal (es decir, es de dimensión $1$ ). Tenga en cuenta que $(x)$ es un ideal primo de $\mathbb{Z}[x]$ que no es máxima--esto se deduce porque $\mathbb{Z}[x]/(x)\cong\mathbb{Z}$ es un dominio pero no un campo.

Esto demuestra además que si $R[x]$ es un PID, entonces $R$ es un campo. Lo contrario también es cierto, porque $R[x]$ poseerá una función euclidiana ( $\deg$ ).

Answer 3

Sugerencia $\ $ Un ideal no nulo $\rm\,I\,$ en un PID es generado por cualquier elemento de $\rm\,I\,$ que tiene el menor número de factores primos entre todos los elementos de $\rm\,I.\:$ Por lo tanto, si $\rm\,I\,$ contiene primos no asociados, entonces $\rm\: I = (1)$ . Los contraejemplos abundan en $\rm\,R = \Bbb Z[x],\:$ es decir, es fácil encontrar primos $\rm\:p,q\in R\:$ con $\rm\:(p,q)\ne (1).$