¿Qué puede $\delta$ dependen y no en $\delta-\epsilon$ ¿formulación del límite?

Question

En la formulación delta-epsilon para $\lim_{n\to \infty} x_n = L$ ,

$\forall \epsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb N,$

$$ |x_n-L| \leq \epsilon, \ \forall n > n_0$$

$n_0$ depende de $\epsilon$ .

¿De qué más puede depender?

Puede $n_0$ dependen de $x_n$ ?

¿De qué no puede depender?

Gracias.

Answer 1

$n_0=\varphi(\epsilon)$ donde $\varphi$ depende de la secuencia. Ejemplos:

$x_n=\frac{1}{n}$ converge a $0$ cuando $n\rightarrow \infty$ . Dado $\epsilon>0$ eligió $n_0=\varphi(\epsilon)=1+\lfloor\frac{1}{\epsilon}\rfloor>\frac{1}{\epsilon}$

$x_n=\frac{1}{n^2}$ converge a $0$ cuando $n\rightarrow \infty$ . Dado $\epsilon>0$ eligió $n_0=\varphi(\epsilon)=1+\lfloor\frac{1}{\epsilon^2}\rfloor>\frac{1}{\epsilon^2}$

Y así sucesivamente.

La función $\varphi$ se elige con respecto a la secuencia y debe ser una función sólo de $\epsilon$

Answer 2

En una declaración del tipo $\forall \epsilon\exists \delta\forall x$ El $\delta$ puede depender de cualquier cosa que se escriba antes (así como de cosas que se inventen mientras se define $\delta$ ), pero no cualquier cosa escrita posteriormente (es decir $\delta$ puede no depender de $x$ ). Por lo tanto, es mucho más sencillo pensar en las cosas que $\delta$ puede no depender de (las cosas que se definen después de definir $\delta$ ). Estrictamente hablando, se puede escribir algo como

$\forall X$ espacios métricos, $\forall x\in X$ , $\forall (x_n)$ secuencias en $X$ convergiendo a $x$ $\forall \epsilon$ números reales positivos $\exists N\in\mathbb N$ tal que $n\geq N$ implica $d(x,x_n)<\epsilon$ .

Cuando se escribe así, $N=N_{X,x,(x_n),\epsilon}$ puede depender de los cuatro objetos nombrados anteriormente. Pero al pensar en $N$ de esta manera se vuelve rápidamente tedioso. Observe también cómo $x$ depende de $X$ , $(x_n)$ depende de ambos $X$ y $x$ y que $n$ no es un objeto con nombre en el punto donde $N$ (es sólo una parte de la notación común para las secuencias). Obsérvese también que podríamos haber incluido incluso más objetos si hubiéramos querido (digamos que podríamos haber considerado diferentes métricas o topologías, o diferentes axiomas teóricos de conjuntos).

En conclusión, cada vez que se nombra un nuevo objeto, éste puede depender de cualquier objeto que ya se haya nombrado. Si es importante que algún objeto no dependa de ningún objeto específico nombrado anteriormente, debes mencionarlo explícitamente.

Ejemplo: Considere la diferencia entre las tres situaciones siguientes:

1) $\forall \epsilon>0,\exists N_{\epsilon}\in \mathbb N,\forall n\geq N_{\epsilon}: |1/n|<\epsilon$ . A saber, elegir $N_\epsilon=\lceil 2/\epsilon\rceil$ .

2) $\forall a>0,\forall \epsilon>0,\exists N_{\epsilon}\in \mathbb N,\forall n\geq N: |1/n|<\epsilon$ . A saber, elegir $N_\epsilon=\lceil \max(a,2/\epsilon)\rceil$ .

3) $\forall \epsilon>0,\exists N_{\epsilon}\in \mathbb N,\forall n\geq N: |1/n|<\epsilon$ . A saber, elegir $N_\epsilon=\lceil \max(a,2/\epsilon)\rceil$ , donde $a>0$ .

Lo único que importa en los tres casos es que $N$ NO puede depender de $n$ porque $n$ se nombra más tarde que $N$ .

Answer 3

Considere la siguiente secuencia: $1,-1,1,-1,1,-1, \cdots$

Ahora bien, si el $n_0$ puede depender de $x_n$ entonces se podría hacer converger buscando subsecuencias que sí convergen ya que los términos Impares convergerían a 1 y los términos pares convergerían a -1 también pero cada uno a un valor diferente por lo que la secuencia global no converge.

Answer 4

Que $$ \lim_{n\to\infty} x_n = L $$ significa que para todos los $\epsilon >0$ existe un $n_0$ (dependiendo de $\epsilon$ tal que si $n\geq n_0$ entonces $\lvert x_n -L \rvert <\epsilon$ .

Así que $n_0$ depende sólo de $\epsilon$ . Para un determinado $\epsilon$ y un elegido $n_0$ es cierto que para todos los $x_n$ para lo cual $n\geq n_0$ tienes que la distancia entre uno de estos $x_n$ y $L$ es menor que $\epsilon$ . El $n_0$ entonces "funciona" para todos los $x_n$ con $n\geq n_0$ .

Así que no $n_0$ no depende del término $x_n$ en la secuencia. La única forma de decir que el $n_0$ depende de $x_n$ es diciendo que el $n_0$ depende de la secuencia $\{x_n\}$ que realmente tienes.

Answer 5

Por supuesto, se puede decir que la elección de $n_0$ depende de la secuencia $x_n$ .

Pero no deberías centrarte en este número natural $n_0$ intuitivamente se piensa en la existencia de un punto de corte para el que la cola de la secuencia $x_n: n\geq n_0$ es $\epsilon$ -cerca del número real $L$ .