¿Existe una relación entre los autovectores de la matriz $A$ y de la matriz $A^TA?
Esta pregunta está relacionada con los autovectores, no con los autovalores. Además, los tamaños de las matrices $A$ y $A^TA$ son diferentes si $A$ no es una matriz cuadrada. Por lo tanto, mi pregunta no tiene relación con la pregunta sobre los autovalores de $A$ y $A^T$.
No hay una relación simple entre los eigenvectores de $A$ y de $A^*A$ a menos que $A$ sea normal. Por ejemplo, si $$ A=\pmatrix{0&1\\0&0}, $$ $A$ tiene un subespacio eigenvectorial de una dimensión únicamente generado por $[1,0]^T$, pero $A^*A=0$ por lo que cualquier 2-vector distinto de cero es su eigenvector. Incluso si $A$ es diagonalizable, los espacios propios de $A$ y de $A^*A$ pueden ser completamente diferentes.
Si $A$ es normal, entonces $A=UDU^*$ para una matriz unitaria $U$ y diagonal $D$, por lo que $A^*A=U|D|^2U^*$ es la descomposición espectral de $A^*A.
Sin embargo, hay una relación simple entre los vectores singulares izquierdos de $A$ y los eigenvectores de $A^*A como se indica en otra respuesta.
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¿Quieres decir que los autovalores son iguales?
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Si estás preguntando si $A$ y $A^TA$ comparten el mismo conjunto de espacios propios, entonces esto realmente se reduce a "¿comparten $A$ y $A^T$ el mismo conjunto de espacios propios?" Y la respuesta a eso es "no". Solo considera $\pmatrix{1 & 1 \\ 0 & 0}$ y $\pmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0}$. Los valores propios, por otro lado...
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$A\mathbf{x} = \lambda_1 \mathbf{x}, A^TA\mathbf{y} = \lambda_2 \mathbf{y}$ \rightarrow $A^T \lambda_1 \mathbf{y} = \lambda_2 \mathbf{y}$ ¿crees?