Evaluar $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{4n^2+1}$ a través de complejos de integración de contorno

Question

¿Cómo evalúa $\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{4n^2+1}$ mediante el uso de complejos de contorno de integración?

Estoy tratando de tentativa a esta pregunta teniendo en cuenta la integral de una función sobre un cuadrado en el plano complejo, cuyos residuos en cada una singularidad en el eje real de evaluar a $\large\frac{1}{4k^2+1}$ para todos los enteros $k$. Tal vez una función similar a la $$\frac {\cot \pi z}{4z^2+1}$$

Tal vez entonces definir un cuadrado centrado en el origen con lados de longitud $2N+1$, dejando $N \to \infty$ podemos dividir la integral para evaluar la suma de los residuos? Que sería de nuestra suma. Lo siento si esto está mal explicado, pero como digo, estoy teniendo problemas para entender esto, así que no estoy demasiado seguro de mí mismo, sé que es posible, aunque!

Answer 1

Si usted elige para evaluar esta utilizando un contorno no va a ser similar, sino idéntica a la de contorno para $\cot(\pi z)$ con el cambio de una variable.

Es literalmente idéntica, con sólo el cambio de una variable, y usted puede también elegir hacer esta variable cambio antes o después de la integración. Lo que se pide en la pregunta está haciendo el cambio de variable antes de que el contorno de la integración, lo que sigue a continuación está haciendo el cambio de variable después de:

Por el contorno de integración tenemos que $$\pi z\cot(\pi z)=1+2z^2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^2-n^2}.$$ Let $z=\frac{i}{2}$, then this is $$ \frac{\pi i}{2}\cot\left(\frac{\pi i}{2}\right)=1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2+1}.$$ Since $\coth(z)=i\cuna(iz)$ we conclude that $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4n^2+1}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\coth\left(\frac{\pi}{2}\right).$$ como se desee.

Si usted desea hacer el cambio de variable antes de que el contorno de integración, con tan sólo mirar en $z\rightarrow \frac{iz}{2}$. Entonces estamos integrando la función de $\pi z \coth \left( \frac{\pi z}{2}\right)$, que realmente la misma función como $\pi z\cot\left(\pi z\right)$.