Hola compañeros matemáticos.
Trato de entender por qué el normal paquete de
$\mathbb{PR}^n$ es isomorfo (en la categoría de vector de paquetes) a la tautológica de la línea de Paquete. Más bien, ¿por qué $\nu_{\mathbb{RP}^{n+1}}^{\beta} \mathbb{RP}^n \cong L, \text{ where } L$ denota la tautológica de la línea de paquete de más de $\mathbb{RP}^n$ $ \beta \colon \mathbb{RP}^n \rightarrow \mathbb{RP}^{n+1} $ la inclusión inducida por la inclusión $\mathbb{R}^{n+1} \subset \mathbb{R}^{n+2}$.
He seguido un par de cabos sueltos hasta ahora.
Uno de ellos:
(1) En esta secuencia de comandos (pdf) he encontrado una prueba (p.8). Yo no entiendo, ¿que se supone que es suficiente como prueba. Afaik bajo trivialisations pude identificar cada vector paquete de la misma dimensión, por lo que lo que los sellos de la prueba aquí?
Otra idea que se me ocurrió:
(2) En $\mathbb{PR}^{n+1}$ tenemos una métrica de riemann, es decir, la tangente paquete permite una presentación como la de whitney-suma: $\nu_{\mathbb{RP}^{n+1}}^{\beta} \mathbb{RP}^n \oplus T \mathbb{PR}^n \cong T\mathbb{RP}^{n+1}|_{\mathbb{PR}^n} $. De acuerdo a Husemoller (Haces de Fibras, Teorema 2.7) ahora (análoga a la presente) que dos vectores paquetes - con el fin de ser isomorfo - tener cohomologous de transición de funciones, es decir, están relacionados en cierta manera a cada uno de los otros. Afaik podemos dividir la transición de las funciones de $T\mathbb{PR}^{n+1}$ en la suma directa (en el sentido de que $\phi_{ij}(p)=\begin{matrix} \phi_{ij}^1(p) & 0 \\ 0 & \phi_{ij}^2(p) \end{de la matriz} $ is the transition function of $T\mathbb{PR}^{n+1}$, where $ \phi_{ij}^1$ is the trans. function of $T\mathbb{PR}^{n}$ and $ \phi_{ij}^2 $ the is trans. function of the normal bundle). As soon as I try to compute all this I encounter problems. So I took the transition functions of the "standard" atlas of $\mathbb{RP}^n$, i.e. with $U_i:=\{[x_1:\dots x_n]|x_i \neq 0 \}$ the transition function is $\phi_j \circ \phi_i^{-1} (y^1, \dots y^n)=(\frac{y^1}{y^j}, \dots \frac{y^{i-1}}{y^{j}}, \frac{1}{y^j}, \frac{y^{i+1}}{y^j}, \dots,\frac{y^n}{y^j})$. Cuando me pase esto a la Jacobiana (que es la transición de la función de la tangente del paquete, ¿verdad?) las cosas se ponen feas.
(3) Otra idea que yo tenía (que es... la regresión supongo) es el uso de la orientiability de $\mathbb{RP}^{2n}$ $\mathbb{RP}^{2n+1}$ y su stiefel whitney clases, que inplies en cada caso, que la normal en paquete no es trivial. Pero ahora me gustaría demostrar que para una línea de paquete es trivial o isomorfo a la tautológica paquete de más de $\mathbb{RP}^n$. Es que, incluso, cierto? Estoy muy agradecido por cualquier ayuda que usted puede ser capaz de proporcionar. Si he cometido un error, usted es más que bienvenido para corregir mí.
