Igualación de impedancia es complicado, pero el papel de un cuarto de onda de la línea de transmisión es el mapa de una impedancia a otro. El real de la impedancia de la línea de no coincidir con el de la entrada o la impedancia de salida - es totalmente esperado.
Sin embargo, a una frecuencia dada, cuando un bien diseñado trimestre de onda de la línea se inserta con la impedancia correcta, la impedancia de salida aparecerá a la entrada como perfectamente. En su caso, el transformador se va a hacer la \$20\Omega\$ impedancia de aparecer como si se trata de un \$100\Omega\$ impedancia lo que significa que ningún desajuste. Básicamente se trata de las guías de las olas de una impedancia característica a otra.
La forma más fácil de visualizar esto es en un Smith gráfico, la trama de los dos puntos de 0.4 (\$20\Omega\$) y 2 (\$100\Omega\$). A continuación, dibuje un círculo centrado en el resistiva/eje real (línea de abajo en el medio), que cruza ambos puntos. Usted encontrará que este punto está situado en 0.894 (\$44.7\Omega\$) si sus cálculos son correctos. Esto se muestra a continuación en \$500\mathrm{MHz}\$, pero la frecuencia es importante sólo cuando la conversión de la longitud eléctrica de una longitud física.
![Smith Chart of Quarter Wave]()
Lo que un cuarto de onda transformador que hace es rotar un punto dado por \$180^\circ\$ alrededor de su impedancia característica en el Smith gráfico (que s \$\lambda/4 = 90^\circ\$ adelante plus \$90^\circ\$ inversa).
Exactamente por qué hace esto es complejo. Pero el resultado final de un largo derivación es que para una línea de transmisión de impedancia \$Z_0\$ conectado a una carga de impedancia \$Z_L\$ y con una longitud \$l\$, entonces la impedancia de la entrada está dada por:
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\left(\beta l\right)}{Z_0+jZ_L\tan\left(\beta l\right)}$$
Que es un feo de la ecuación, pero ocurre si la longitud eléctrica \$\beta l\$ es \$\lambda/4\$ (\$90^\circ\$), el \$\tan\$ parte va al infinito que permite la ecuación se simplifica a:
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{(Z_0)^2}{Z_L}\rightarrow Z_0=\sqrt{\left(Z_{in}Z_L\right)}$$
Que es donde está su cálculo viene.
Con el cuarto de onda del transformador en el lugar, la carga aparece como emparejados a la fuente. En otras palabras, el transformador de partidos tanto de sus interfaces, no sólo el extremo de entrada.
También se puede ver a partir de esta ecuación por qué el transformador sólo funciona para una sola frecuencia - porque se basa en la longitud física de ser \$\lambda/4\$. En realidad se puede (generalmente el uso de herramientas de diseño avanzadas) lograr una coincidencia aproximada sobre un rango de frecuencias - básicamente una lo suficientemente cerca, pero no coincide exactamente.
