Encontrar a, b, c, d en una expresión de grado cuatro

Question

Que $p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ donde un, b, c, d son constantes. $p(1)=10$, $p(2)=20$, $p(3)=30$, Calcular $\frac {p(12)+p(-8)}{10}$. He probado hasta ahora. \begin{align} a+b+c+d=&9\\8a+4b+2c+d=&4\\27a+9b+3c+d=&-51 \end {Alinee el} manipular estos, conseguí $6a+b=-25$. Now, $$\frac {p(12)+p(-8)}{10}=\frac{24832+1216a+208b+4c+2d}{10}$$ $$=\frac{24832+202(6a+b)+(4a+4b+4c)+2b+2d}{10}$$ $$=\frac{19782+(36-4d)+2b+2d}{10}$$ $$=\frac{19818+2b-2d}{10}$$ How do I get rid of the $2b-2d$?

Answer 1

(2012 respuesta es correcta, pero las manipulaciones algebraicas no revelar lo que está sucediendo. Esta respuesta se explica por qué podemos calcular la expresión, a pesar de no tener suficiente información.)

Por el resto teorema de factor, ya que $p(x) - 10x$ es un monic polinomio de cuarto grado con raíces 1, 2, y 3, por lo tanto

$$p(x) - 10x = ( x-1) (x-2) ( x-3) (x-k), $$

donde $k$ es una constante.

Por lo tanto, $ p(12) - 120 = 11 \times 10 \times 9 \times (12-k)$$p(-8) - (-80) = (-9) \times (-10) \times (-11) \times (-8-k)$.

Tenga en cuenta que los coeficientes de $ (12-k) $ $-(-8-k)$ son el mismo, es decir,$11\times 10 \times 9$, por lo que podemos sumarlos para obtener:

$$p(12) + p(-8) = 120 + (-80) + 11 \times 10 \times 9 \times (12+8) = 19840.$$

Si desea un problema similar a la práctica lo que has aprendido en este problema, intente con este problema de matemáticas en Brillante.

Answer 2

Como notado, tienes tres ecuaciones de cuatro incógnitas (a, b, c, d). Eliminar a, b y c entonces expresar como funciones de d. Para calcular la expresión. ¡Por magia, d desaparece! ¿Esto ayuda?

Answer 3

Tienes $p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, y está dado que $a + b + c + d = 9$, $8a + 4b + 2c + d = 4$ y $27a + 9b + 3c + d = -51$

Ahora, $p(12) + p(-8) = 12^4 + 8^4 + (12^3 - 8^3) a + (12^2 + 8^2) b + (12 - 8) c + 2d = 24832 + 1216 a + 208 b + 4c + 2d = 24832 + 1216 a + 208 b + 2 (2c+d)$. Tenga en cuenta que $2c + d = 4 - 8a - 4b$ y sustituye en la ecuación para obtener $p(12) + p(-8) = 24832 + 1216 a + 208 b + 8 - 16a - 8b = 24840 + 1200 a + 200b = 24840 + 200(6a + b).$

Enchufe en el $6a + b = -25$ y te $p(12) + p(-8) = 24840 - 5000 = 19840$. Dividirlo por $10$ y te $\displaystyle \frac{p(12) + p(-8)}{10} = 1984$.

Recuerde, $d + d \ne d$.