Resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas.

Question

Resolver de forma real$(a, b, c)$ satisfactorio

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Intento aislar $$ab + bc + ca = 1$, pero conduce a una expresión muy complicada en$$ a^2 − 2b^2 = 1$.

Answer 1

Si se puede demostrar que $c=0$ $a=\sqrt{2},b=\sqrt{2}/2$ como se señaló en el Tim de la respuesta. Me pareció un poco involucrados para probar realmente $c=0$ es una consecuencia de las ecuaciones. (Yo estaría interesado en una simple prueba de $c=0$ que la siguiente.) La etiqueta de las ecuaciones:

[1] $ab+bc+ca=1,$

[2] $a^2-2b^2=1,$

[3] $2b^2-3c^2=1.$

A partir de [2] y [3], podemos ver ni la de $a,b$ son cero, ya que buscamos soluciones reales. [2] solo podemos ver también que ninguno de $a+b,a-b$ son cero, de lo contrario [2] dice $-t^2=1$. Vamos a necesitar estos distinto de cero propiedades más tarde.

Ahora, puesto que el derecho lados son todos iguales, hemos de [1] y [2] que $$c(a+b)+ab=a^2-2b^2,$$ y moviendo el $ab$ a la derecha y el factoring da $$c(a+b)=(a+b)(a-2b).$$ Como se señaló sabemos $a+b$ es distinto de cero, por lo que ahora tenemos $c$ en términos de $a,b$ $$c=a-2b.$$ El próximo uso que [2] y [3] tienen el mismo derecho lados, de modo que en la sustitución de $c$ como en el anterior, $$a^2-2b^2=2b^2-3(a-2b)^2,$$ y los factores de diferencia para obtener: $$4(a-2b)(a-b)=0.$$ Teniendo en cuenta que conocemos $a-b$ no es cero, llegamos a $a-2b=0$, es decir, $c=0$ como se desee.

EDIT: he eliminado la frase "por suerte la $b^2$ términos cancelar" ya que ellos no. También, como otros han señalado, en el caso de $c=0$ los signos en $a,b$ puede ser cambiado por otro de la solución, de modo que el sistema tiene en realidad dos triples $(a,b,c)$ soluciones.

Answer 2

Como un enfoque intenta poner la primera ecuación$ab+bc+ca=1$ en términos de$c$, entonces establece$c$ igual a$0$. Se verá complicado al ponerlo con términos variables bajo signos radicales pero verá que el resultado es igual a$1$. A partir de ahí, las otras dos soluciones para$a$ y$b$ serán evidentes. Las soluciones reales son $$a=\sqrt{2} b=\frac{\sqrt{2}}{2} $%%

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