Cómo encontrar el valor del$a$ such$\{a^n\}$

Question

Definamos la secuencia$$a_{n}=\{a^n\}$$ with $ a> 0$ where $ \ {a ^ n \} $ denota la parte fraccionaria.

¿Cómo podemos mostrar que no hay números reales positivos$a\in Q$ tales que esta secuencia$a_{n}$ está aumentando estrictamente.

Puedo encontrar ejemplo de cómo$a_{n}$ está aumentando, como$$a=1+\varepsilon,\varepsilon\to 0,$ $

Ahora achille hui han encontrado Niza un ejemplo cuando$a$ es irracional,

ps

Ahora creo que cuando$$a=(2+\sqrt{3})$ es cierto, ¿alguien puede demostrarlo?

Answer 1

La declaración es falsa. Permitir$a = 2+\sqrt{3}$ y$b = 2 - \sqrt{3}$. Es fácil ver la secuencia definida por

ps

Satisface la relación de recurrencia$$T_n = a^n + b^n, n \in \mathbb{N}$ para$T_n = 4T_{n-1} - T_{n-2}$.

Dado que$n \ge 2$ y$T_0 = 2$ son enteros, también lo hace todo$T_1 = 4$.

Aviso $T_n$. Esto significa que para todos$b \in (0,1)$, tenemos$n > 1$ estrictamente aumentando y converge a$\{\;a^n\;\} = 1-b^n$.

Answer 2

Como achille hui muestra, no son irracionales $a$ que $\{a^n\}$ es estrictamente creciente (cualquier número de la forma $a=\lceil \sqrt k\rceil +\sqrt k$ donde $k$ no es un cuadrado perfecto). Racional, $a=\frac bc$ esto es imposible: Asumir lo contrario y deje $L=\lim\{a^n\}$. A continuación, $\epsilon_n=L-\{a^n\}$ es una disminución de la secuencia de positivos reales. Tenemos $a^n=\{a^n\}+\lfloor a^n\rfloor = L-\epsilon_n+\lfloor a^n\rfloor$. A continuación, $$ L-\epsilon_{n+1}+\lfloor a^{n+1}\rfloor= a^{n+1}=a(L-\epsilon_{n}+\lfloor a^n\rfloor),$$ por lo tanto (multiplicar con $c$ y reorganizar) $$ (b-c)L+\underbrace{c\epsilon_{n+1}-b\epsilon_{n}}_{\to 0} = \underbrace{\lfloor a^{n+1}\rfloor c-b\lfloor a^n\rfloor}_{\in\mathbb Z}.$$ El lado derecho es un entero para todos los $n$ y la mano izquierda converge a $(b-c)L$, por lo tanto $(b-c)L$ es un número entero. Pero, a continuación, $b\epsilon_n-c\epsilon_{n+1}$ es un número entero y, por tanto, $=0$ $n$ lo suficientemente grande. El uso de tales $n$, vemos a $a=\frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}<1$. Pero para $0<a<1$ la secuencia de $\{a^n\}=a^n$ está disminuyendo, la contradicción!