Tuve una discusión con un amigo sobre la afirmación del título. Afirmé que si $4=5$ entonces $6=8$ como se puede derivar cualquier conclusión de una afirmación falsa. Sin embargo, no está de acuerdo, y afirma que no se puede saber que $6$ sería igual a $8$ si $4$ fueran iguales a $5$ . ¿Es correcta la afirmación del título?
Respuestas
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vadim123
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Mark Joshi
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Hay un par de cuestiones aquí. En primer lugar, si un sistema contiene una contradicción entonces todo es verdad. Así que si $4=5$ y $4 \neq 5$ entonces todas las afirmaciones son verdaderas.
En segundo lugar, la implicación se define de tal manera que el enunciado $P \implies Q$ se define como verdadero si $P$ se sabe que es falso. Esto no dice nada sobre $Q.$ El motivo es que cuando $P$ es falso, la implicación no dice nada sobre $Q.$
Shabaz
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Hay que definir los axiomas con los que se trabaja. Si se trabaja en AP con $4$ definido como $s(s(s(s(0)))))$ y $5$ definido como $s(s(s(s(s(0)))))$ es correcto ya que se puede derivar una contradicción. En ese caso, puedes derivar cualquier afirmación. Si estás trabajando en lógica básica de primer orden con igualdad, puedo definir un modelo de $\{4,6,8\}$ y definir $4=5$ pero $6 \neq 8$ y tu amigo gana. I Estoy de acuerdo que es perverso tal y como lo has presentado.
JoshL
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Esta es una ampliación o digresión de la respuesta de Ross Millikan. La cuestión es determinar exactamente lo que quiere decir con la implicación "si $4=5$ entonces $6=8$ ".
Una forma de leerlo es como una declaración sobre la línea real. Dado que $4 \not = 5$ la declaración "si $4 = 5$ entonces $6 = 8$ " es vacuamente cierto para la línea real.
Pero otra forma de leer una implicación así es como una afirmación sobre anillos con identidad (también se podría decir que es sobre semirings). En cualquier anillo con identidad, un número natural $n$ se representa naturalmente como una suma $1+1+\cdots +1$ con $n$ los Yo leería más naturalmente una declaración de la forma "si $a = b$ entonces $c = d$ ", donde $a,b,c,d$ son números naturales, como una afirmación sobre todos los anillos con identidad, diciendo que se puede derivar $c=d$ de $a=b$ utilizando los axiomas del anillo.
Pero, en anillos con característica finita, podemos tener $n = m$ aunque $n$ y $m$ son números naturales distintos. Por ejemplo, en el anillo $Z_8$ tenemos $5 = 13$ pero en ese anillo no tenemos $6 = 9$ . Así que la implicación "si $5 = 13$ entonces $6 = 9$ "no es cierto si lo vemos como una afirmación sobre todos los anillos. Pero esa afirmación es verdadera si la vemos como una afirmación sobre el anillo de los números reales.
En la pregunta, tal vez por suerte, usted asumió que $4 = 5$ que sólo es cierto en el único anillo trivial en el que $ 1= 0$ . Es es es cierto que, en ese anillo en particular, que $n = m$ para todos los números naturales $n$ y $m$ . Pero eso es un atributo especial de ese anillo, no una propiedad universal de todos los anillos con identidad.
Daps0l
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