Libros de texto de cálculo multivariable (teórico)

Question

(Obsérvese que he utilizado frecuentemente el texto en negrita simplemente para resaltar los puntos clave de mi pregunta para aquellos que no tengan tiempo de leerla detenidamente (no es muy larga, sin embargo); espero que esto no se considere ofensivo).

Hay muchos libros de texto sobre cálculo multivariable. Sin embargo, algunos libros de texto sobre cálculo multivariable no se centran mucho en la fundamentos teóricos de la asignatura. Por ejemplo, un libro de texto puede enunciar un resultado del tipo "el orden de la diferenciación parcial es irrelevante" sin pruebas y pedir al alumno que utilice esta regla para resolver problemas. Del mismo modo, teoremas como los de Green y Stokes no suelen demostrarse en toda su generalidad.

Por lo tanto, hago la siguiente pregunta:

¿Cuáles son algunas buenas teórico libros de texto de cálculo multivariable ?

Dado que "teórico" es algo ambiguo, permítanme enunciar los siguientes criterios que me gustaría que cumpliera un libro de texto "teórico" sobre cálculo multivariable:

• El libro de texto debe ser riguroso y debería no enunciar un teorema sin pruebas si el teorema se demuestra en al menos otro libro de texto de cálculo multivariable. (Por supuesto, el libro de texto puede omitir ciertos teoremas; sin embargo, este criterio garantiza, al menos, que los principales teoremas del cálculo multivariable no se enuncien sin pruebas y se utilicen únicamente para hacer cálculos. Además, este criterio permite que el libro de texto enuncie un teorema interesante si está fuera del alcance de todos los libros de texto de cálculo multivariable).
• El libro de texto debe ser principalmente se basa en el desarrollo de los fundamentos teóricos del cálculo multivariable; por tanto, aplicaciones como aprender a calcular la derivada parcial de una función, aprender a resolver problemas de extremos, aprender a calcular, etc. debe reducirse al mínimo . En particular, el libro de texto puede asume que el lector ya ha visto al menos un tratamiento informal del tema en el que se destacan estos aspectos.
• El libro de texto debe tener un tratamiento riguroso de diferenciabilidad en $n$ -espacio euclidiano de dimensiones (por ejemplo, deben demostrarse los teoremas de la función inversa e implícita), Integración de Riemann en $n$ -espacio y formas diferenciales (por ejemplo, debería demostrarse el teorema de Stokes). También sería un plus si el libro tratara el concepto general de colector.
• Se prefieren los libros de texto con mínimos requisitos previos Sin embargo, no dude en sugerir libros que cumplan con los criterios anteriores, incluso si los requisitos previos son bastante exigentes.
• Por último, también sería preferible, aunque no imprescindible, que el libro sólo tratan el cálculo multivariable .

Ejemplos de libros que cumplen los criterios anteriores: "Analysis on Manifolds" de James Munkres, "Principles of Mathematical Analysis" de Walter Rudin y "Calculus on Manifolds" de Michael Spivak.

Aunque ya he estudiado cálculo teórico multivariable (hace cuatro años), nunca he podido encontrar "el libro perfecto" (en relación conmigo mismo, por supuesto). Cada libro tiene sus virtudes; Rudin por su elegancia, Munkres por su bella exposición, y Spivak por su enfoque "rápido y sucio". Espero que alguien pueda sugerir un libro que (en relación conmigo mismo) sea "perfecto". Además, esta pregunta puede ser útil para otros estudiantes que aún no han estudiado el tema y desean aprenderlo.

¡Muchas gracias por todas las respuestas! Por favor, no dude en sugerir todos los libros que se le ocurran para poder formar una gran lista. También, por favor, intente explicar por qué un determinado libro es bueno o al menos por qué usted piensa es bueno. Supongo que está bien sugerir un libro que ya está sugerido siempre que se tenga una visión diferente de por qué el libro es bueno.

Answer 1

Un libro que se ajusta bastante bien a su descripción es

Análisis real multidimensional de Duistermaat y Kolk, un conjunto de 2 volúmenes: Diferenciación e Integración.

Tiene pruebas rigurosas y hábiles, es muy teórico, pero con muchos ejemplos (avanzados) y muchos, muchos ejercicios. Se presta mucha atención al teorema de la función inversa e implícita, y a los submanifolds de $\mathbb{R}^n$ . El libro se utiliza en un curso de segundo año en la Universidad de Utrecht. Tengo que admitir que me resultó bastante difícil de leer cuando hice el curso. Pero es estupendo como referencia, y años después sigo consultándolo de vez en cuando.

Otro buen libro es Loomis & Sternberg - Cálculo avanzado (disponible gratuitamente en Sitio web de Sternberg .)

Answer 2

Esta es una respuesta perezosa de un tipo, que en su primer y segundo año sintió la necesidad de un excelente libro exacto riguroso e intuitivo en el cálculo, tanto de una como de varias variables.

No he leído ninguno de los siguientes libros, pero los he ojeado.

• Análisis Matemático I Zorich, amazon , 578 páginas
• Análisis Matemático II Zorich, amazon 688 páginas
• Cálculo avanzado , Callahan

Me impresionó mucho su índice de contenidos:

Answer 3

Hay un libro reciente Funciones de varias variables reales . Tiene muchos buenos ejemplos y ejercicios y es ciertamente teórico.

Answer 4

La segunda mitad del libro "An Introduction to Analysis" de William Wade proporciona lo que pides. (La primera mitad es de una sola variable.) Hay incluso una sección sobre el análisis elemental de Fourier.

Tabla de contenidos (para la parte multivariable):

8 Espacios euclidianos

8.1: Estructura algebraica

8.2: Planos y transformaciones lineales

8.3: Topología de $\mathbb{R}^n$

8.4: Interior, cierre y límite

9 Convergencia en $\mathbb{R}^n$

9.1: Límites de las secuencias

9.2: Límites de funciones

9.3: Funciones continuas

9.4: Conjuntos compactos

9.5: Aplicaciones

10 espacios métricos

10.1: Introducción

10.2: Límites de funciones

10.3: Interior, cierre, límite

10.4: Conjuntos compactos

10.5: Conjuntos conectados

10.6: Funciones continuas

11 Diferenciabilidad en $\mathbb{R}^n$

11.1: Derivadas parciales e integrales parciales

11.2: Definición de diferenciabilidad

11.3: Derivadas, diferenciales y planos de tangencia

11.4: Regla de la cadena

11.5: Teorema del valor medio y fórmula de Taylor

11.6: Teorema de la función inversa

11.7: Optimización (multiplicadores de Lagrange)

12 Integración en $\mathbb{R}^n$

12.1: Regiones de Jordania

12.2: Integración de Riemann en regiones de Jordan

12.3: Integrales iteradas

12.4: Cambio de variables

12.5: Particiones de la unidad

12.6: Función gamma y volumen

13 Teorema fundamental del cálculo vectorial

13.1: Curvas

13.2: Curvas orientadas

13.3: Superficies

13.4: Superficies orientadas

13.5: Teoremas de Green y Gauss

13.6: Teorema de Stokes

14 Series de Fourier

14.1: Introducción

14.2: Sumabilidad de las series de Fourier

14.3: Crecimiento de los coeficientes de Fourier

14.4: Convergencia de las series de Fourier

14.5: Singularidad

15 Múltiples diferenciables

15.1: Formas diferenciales en $\mathbb{R}^n$

15.2: Múltiples diferenciables

15.3: Teorema de Stokes en las variedades

Answer 5

He estado leyendo Mathematical Analysis de Tom Apostol para repasar gran parte de este material. Parece que discute y explica las cosas más que Rudin. Incluso incluye algunas imágenes, que son comprensiblemente primitivas dada la edad del libro, pero creo que ayudan. También parece tener muchos ejercicios.