La forma de los elementos de los esquemas

Question

En el libro Geometría de los esquemas escrito por David Eisenbud y Joe Harris, al principio del capítulo uno en la sección Esquemas como conjuntos los autores introducen elementos de $R$ como funciones. No puedo entender su significado. Si alguien sabe cómo se definen estas funciones, por favor describa qué funciones corresponden a los elementos de $R$ son.

Answer 1

Si $R$ es un anillo conmutativo se le asocia un conjunto, el espectro $Spec(R)$ de ese anillo.
Los elementos de ese espectro son los ideales primos $\mathfrak p\subset R$ .
Ahora, dado un elemento $r\in R$ se le asocia una función $\hat r $ definido en $Spec(R)$ (la transformada de Gel'fand de $r$ ), cuyo valor en $\mathfrak p\subset R$ es la clase de residuo $\hat r(\mathfrak p)=\text {class} (r)\in R/\mathfrak p\subset \kappa (\mathfrak p) =Frac(R/\mathfrak p)$ .

Esta es una construcción increíble.
Muchos anillos se dan naturalmente como funciones sobre algún conjunto estructurado: piénsese en las funciones continuas sobre un espacio topológico o en las funciones suaves sobre un colector o en las finciones holomórficas sobre una variedad holomórfica o...
La fantástica idea, debida a Gel'fand para las álgebras de Banach y a Grothendieck para los anillos generales, es que se puede forzar esencialmente que todo anillo sea un anillo de funciones sobre algún conjunto, a saber $Spec(R)$ extraído de $R$ sí mismo.
Por supuesto, hay problemas técnicos: la asociación $r\mapsto \hat r$ no es siempre inyectiva, por lo que el anillo $R$ no siempre es exactamente un anillo de funciones, pero esta idea de intentar considerar cualquier anillo como un anillo de funciones es realmente extraordinaria y extremadamente útil.

Answer 2

En el libro Geometry of Schemes, escrito por David Eisenbud y Joe Harris, al comienzo del capítulo uno en la sección Schemes as Sets, los autores introducen los elementos de R como funciones. describiremos lo que son las funciones que corresponden a elementos de R.

Recordemos algunos teoremas de las álgebras fundamentales

Teorema: Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con un elemento de identidad, entonces " $P$ es un ideal primo de $R$ $\Longleftrightarrow$ $\frac{R}{P}$ sea un dominio integral" ("Álgebra" escrito por el Dr. Mohammadi Hasan Abadi)

tener un elemento de identidad era necesario para $\frac{R}{P}$ será un dominio integral, porque hemos definido un anillo $R$ es un dominio integral si será conmutativo con el elemento identidad y no tiene ningún divisor cero distinto de cero. Pero si se mira la demostración de este teorema no es necesario implicar de $P$ es un ideal primo de $R$ que $\frac{R}{P}$ no tiene ningún divisor cero distinto de cero y su convertidor.

Teorema: Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con al menos dos elementos y no tiene divisores nulos distintos de cero. Entonces la relación $\thicksim$ en $\{(a,b)\in R\times R\:|\:b\neq 0\}$ con la definición " $(a,b)\thicksim(c,d)\Longleftrightarrow ad=bc$ "es una relación de equivalencia sobre el conjunto de cocientes de $R$ ("Álgebra" escrito por el Dr. Mohammadi Hasan Abadi, página 299)

Teorema: El conjunto de clases de equivalencia introducido en el teorema anterior con las operaciones $+$ y $\cdot$ que se definen a continuación es un campo.("Álgebra" escrito por el Dr. Mohammadi Hasan Abadi, página 301)

$\{ +:F\times F\longrightarrow F \\ (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$

$ \{\begin{array}{c} \cdot:F\times F\longrightarrow F \\ (a,b)\cdot(c,d)=(ac,bd) \end{array}$

Teorema: Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con al menos dos elementos y no tiene ningún divisor cero distinto de cero y sea $F$ sea su campo de cocientes. Entonces R es incrustable en $F$ ("Álgebra" escrito por el Dr. Mohammadi Hasan Abadi, página 302)

Obsérvese que la identidad del campo cociente es la clase de equivalencia contiene $(a,a)$ que $a\in R-\{0\}$ es arbitraria. Y nótese que, la función de incrustación que se menciona es

$\{\begin{array}{c} f:R\longrightarrow F \\ f(a)=[(ab,b)]_{\thicksim}\quad ;b\in R-\{0\} \end{array}$

Tenga cuidado que por definición de $\thicksim$ , $[(ab,b)]_{\thicksim}$ es independiente de $b$ y sólo depende de $a$ .

Ahora bien, si $R$ sea un anillo conmutativo para cada ideal primo de $R$ como $P$ tenemos $\frac{R}{P}$ es un anillo conmutativo sin divisores cero no nulos, por lo que por los teoremas mencionados, $F_{P}$ el conjunto de clases de equivalencia de la relación $\thicksim$ en $\{(a+P,b+P)\in \frac{R}{P}\times \frac{R}{P}\:|\:b+P\neq P\}$ con los operadores mencionados $+$ y $\cdot$ será un campo que $\frac{R}{P}$ se incrustará en él con la siguiente función.

$\{\begin{array}{c} f_{P}:\frac{R}{P}\longrightarrow F_{P} \\ f_{P}(r+P)=\frac{(r+P)(s+P)}{s+P}\quad ;s+P\in \frac{R}{P}-\{P\} \end{array}$

A continuación se expondrá el concepto principal de estos autores:

Por cada $r\in R$ definir; $\{\begin{array}{c} f_{r}:Spec(R)\longrightarrow \bigcup_{P\in Spec(R)}F_{P} \\ f_{r}(P)=\big(f_{P}o\pi_{P}\big)(r)=\frac{(r+P)(s+P)}{s+P}\quad ; s\in P \end{array}$

$\{\begin{array}{c} \pi_{P}:R\longrightarrow \frac{R}{P} \\ \pi_{P}(r)=r+P \end{array}$

Para cada uno de los elementos de $R$ como $r$ , $f_{r}$ es una función porque si $P_{1},P_{2}\in Spec(R)$ y $P_{1}=P_{2}$ entonces es como si se denotara un ideal primo de $R$ con dos nómadas, así que $\frac{R}{P_{1}}=\frac{R}{P_{2}}$ y $F_{P_{1}}=F_{P_{2}}$ y para cada $s\notin P_{1}$ tenemos $s\notin P_{2}$ y a la inversa y al final $\frac{(r+P_{1})(s+P_{1})}{s+P_{1}}=\frac{(r+P_{2})(s+P_{2})}{s+P_{2}}$ es decir $f_{r}(P_{1})=f_{r}(P_{2})$ .