Brendon Brewer (el autor) escribió un seguimiento post en su blog en el que se detalla el meollo de la cuestión por tanto la probabilidad posterior y el valor p de los cálculos.
El p-valor cálculos son bastante estándar, suponiendo una binomial de probabilidad. El modelo Bayesiano se utiliza se define como
\begin{align*}
p & \sim \text{dirac-uniform-mixture} \\
x \, | \, p & \sim \text{binomial(100, p)}
\end{align*}
donde la Dirac/mezcla uniforme se define por $p \in [0, 1]$ por
\begin{equation*}
\pi(p) = \frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}.
\end{ecuación*}
Por lo tanto, dado un modelo, se pueden calcular las probabilidades posteriores en la forma estándar. Brendon (sensatez) utiliza una aproximación discreta en sus detalles técnicos, pero puede ser ilustrativo para moler cosas analíticamente. Voy a demostrar cómo se puede llegar a la 0.89 probabilidad posterior de que la nueva droga de ser mejor que el anterior; los otros cálculos proceder de forma similar.
La parte posterior está definido por
\begin{equation*}
\pi(p \, | \, x) = \frac{\pi(x \, | \, p) \pi(p)}{\pi(x)}
\end{ecuación*}
donde $\pi(x \, | \, p)$ es la binomial función de masa, y la normalización de la función $\pi(x)$ general $n$ es
\begin{align*}
\pi(x)
& = \int_{0}^{1} \pi(x \, | \, p)\pi(p) dp \\
& = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(\int_{0}^{1}\delta(p - 0.7)p^x (1 - p)^{n - x}dp + \int_{0}^{1}p^x (1 - p)^{n - x} dp \right) \\
& = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(0.7^x 0.3^{n - x} + B(x + 1, n - x + 1)\right).
\end{align*}
Aquí he utilizado el hecho de que $\int \delta(t-x)f(t)dt = f(x)$ (por lo suficientemente bonita $f$) y que $\int_{0}^{1}p^{\alpha - 1}(1 - p)^{\beta - 1}dp = B(\alpha, \beta)$ $B$ la función beta (ver aquí).
Dada la posterior, uno sólo tiene que trabajar a través de algunos de integración para encontrar $P(p > 0.7 \, | \, x = 83)$:
\begin{align*}
\int_{0.7}^{1} \pi(p \, | \, x = 83) dp
& = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \left(\frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}\right)\pi(x = 83 \, | \, p) dp \\
& = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \frac{1}{2} {100 \choose 83} p^{83} (1 - p)^{17} dp \\
& = \frac{\int_{0.7}^{1} p^{83} (1 - p)^{17} dp}{0.7^{83} 0.3^{17} + B(84, 18)} \\
& = 0.8907679.
\end{align*}
