Probar la desigualdad con raíces cuadradas y manipulación algebraica

Question

Pregunta:

Editar: La pregunta original es: Estimar$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{10000}$ a la centena más cercana.

Utilicé$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}\geq \int_{0}^{n}\sqrt{x}dx$ y$\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}\leq \frac{4n+3}{6}\sqrt{n}$, que necesito probar.

Así que demuéstrelo:$$\left ( \frac{4n+3}{6} \right )\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\leq \left ( \frac{4n+7}{6} \right )\sqrt{n+1}$ $

Intento: %

Pero

¿Cómo puedo probar que$$\left ( \frac{4n+3}{6} \right )\sqrt{n}+\sqrt{n+1}= \frac{(4n+3)\sqrt{n}+6\sqrt{n+1}}{6}\leq \frac{(4n+3)\sqrt{n+1}+6\sqrt{n+1}}{6}= \frac{(4n+9)\sqrt{n+1}}{6}$ $

Answer 1

La desigualdad deseada

ps

es equivalente a

ps

Dado que estamos tratando con números no negativos aquí, esto es equivalente a

ps

Si amplias eso, verás que es verdad.