Comutador con exponencial$[A, \exp(B)]$

Question

¿Cómo puedo saber si$A$ y$\exp(B)$ conmutan?

Para$[A, B]$ es simplemente$AB-BA$ y para$[\exp(A), \exp(B)]$ creo que sería$\exp(A)\exp(B) - \exp(B)\exp(A) = \exp(A+B) - \exp(B+A) = 0$. Actualización: no es generalmente cierto.

¿Hay una forma "sencilla" de encontrar$[A, \exp(B)]$?

¿O es uno de esos problemas donde, si los encuentras en absoluto, probablemente estás haciendo algo mal? El ejemplo que encuentro es$[\vec{S}, \exp(S_z)]$).

Answer 1

Si el OP quiere evaluar $[A,e^B]$ en términos de $[A,B]$, no hay una fórmula

$$\tag{1} [A,e^B] ~=~\int_0^1 \! ds~ e^{(1-s)B} [A,B] e^{sB}. $$

Prueba de eq.(1): La identidad (1) de la siguiente manera mediante el establecimiento $t=1$ en la siguiente identidad

$$\tag{2} e^{-tB} [A,e^{tB}] ~=~ \int_0^t\!ds~e^{-sB}[A,B]e^{sB} .$$

Para probar la ecuación (2), la primera nota que (2) es trivialmente cierto para $t=0$. En segundo lugar, tenga en cuenta que una diferenciación wrt. $t$ en ambos lados de (2), se obtiene la misma expresión

$$\tag{3} e^{-tB}[A,B]e^{tB},$$

donde usamos el hecho de que

$$\tag{4}\frac{d}{dt}e^{tB}~=~Be^{tB}~=~e^{tB}B.$$

Para que los dos lados de la ecuación.(2) debe ser igual.

Nota: Ver también esta relacionada con Phys.SE post. (Es la causa $[A, \cdot]$ actúa como un lineal de derivación.)

Answer 2

ps

Con el fin de$$[A,e^{B}]=[A,\sum_{i=0}^{\infty}\frac{B^{i}}{i!}]=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{[A,B^{i}]}{i!}$ y$A$ conmutar,$e^B$ debe conmutar con$A$ y por lo tanto con cualquier poder de$B$. Puede aplicar esto a$B$

ps

para $[\vec{S},e^{S_{z}}]$