¿Qué tan discontinua debe tener una bijección$[a,b] \to (c,d)$?

Question

Sé que la bijección de$[a,b]$ a$(c,d)$ no puede ser continua, pero me pregunto si tal función podría existir si fuera discontinua en puntos simplemente contables, y si esto no es posible, ¿por qué?

Answer 1

La función$f:[0,1]\to [0,1)$ dada por $$f (x) = \ cases {\ frac x2 & if$x = \frac{1}{2^n}$ para algunos$n\in \Bbb N$ \\ x & else}$$ es el ejemplo estándar de un Bijection$[0,1]\to [0,1)$ y es discontinua sólo en un número de puntos contable. También puede sin demasiado trabajo ser alterado para caber$[a, b]\to(c, d)$ sin perder esa propiedad.

Answer 2

Tales funciones de existir. Para simplificar, voy a asignar el intervalo de $[-1,1]$$(-1,1)$, pero la técnica de obras, en el caso general.

Para $n \geq 1$, vamos a $a_n = \frac{1}{n}$$b_n = -\frac{1}{n}$. Definir $f\colon\thinspace [-1,1]\rightarrow (-1,1)$ como sigue:

-Para los valores de la secuencia $a_n$, $f(a_n) = a_{n+1}$.

-Para los valores de la secuencia $b_n$, $f(b_n) = b_{n+1}$.

-Para todos los demás $x$, $f(x) = x$.

Uno puede comprobar fácilmente que $f$ es un bijection de$[-1,1]$$(-1, 1)$. Y es continua en todas partes, excepto en las secuencias $\{a_n\}$$\{b_n\}$, los cuales son countably muchos puntos.