Considere la posibilidad de una normativa espacio vectorial $V$. Supongamos que para cada par de vectores unitarios $v,w$ existe una isometría lineal que envía a $v$ $w$(y deja el subespacio generado por $v$ $w$ invariante).
De lo anterior se sigue que el $V$ es un producto interior el espacio?
Por medio de la formulación y el paralelogramo de la ley el problema de inmediato, se reduce al caso bidimensional. Yo no se pudo encontrar un buen argumento para ese caso. Sería bueno tener una relativamente elemental argumento de esta.
A mí me parece que la respuesta para $\dim{V} = 2$ debe ser que sí: el grupo $G$ de isometrías lineales de $V$ es un subgrupo cerrado de $GL(2,\Bbb R)$, y dado que la unidad de la esfera es compacto, $G$ es compacto. Sin embargo, no hay muchos infinito compacto subgrupos de $GL(2,\Bbb R)$: hasta conjugación, se $O(2)$$SO(2)$. Me gustaría que esto me dicen que tengo realmente un círculo como una unidad de la esfera, pero yo realmente no sé cómo hacer este preciso y cómo concluir.
Podría usted por favor me ayude a terminar esto o darme un argumento alternativo (o un contraejemplo)?
Pregunta extra: ¿Qué pasa si se me cae la condición de abandonar el subespacio generado por $v$ $w$ invariante?
Gracias!
