Álgebra lineal para la física cuántica

Question

Hace una semana yo preguntó La mayoría de ustedes mencionaron el Álgebra Lineal, así que decidí realizar un auto-estudio del Álgebra Lineal. Por supuesto, sólo llevo una semana, pero tengo algunas preguntas.

1. ¿Cómo va a ser esto aplicable a la física cuántica? He aprendido sobre matrices (suma, resta, multiplicación e inversión) y sobre cómo resolver ecuaciones múltiples con 3 incógnitas utilizando matrices, y ahora estoy empezando a aprender sobre vectores. Sólo llevo una semana, así que probablemente esto no sea ni la punta del iceberg, pero quiero saber cómo me va a ayudar esto.

2. Además, digamos que domino el álgebra lineal en general en medio año (estoy en el instituto pero soy extremadamente rápido con las matemáticas), ¿qué otros "tipos" de matemáticas necesitaría autoestudiar antes de ser capaz de entender matemáticamente la física cuántica rudimentaria?

Answer 1

La mecánica cuántica "vive" en un espacio de Hilbert, y el espacio de Hilbert es "sólo" un espacio vectorial de dimensiones infinitas, de modo que los vectores son en realidad funciones. Entonces las matemáticas de la mecánica cuántica son prácticamente "sólo" operadores lineales en el espacio de Hilbert.

Quantum mechanics    Linear algebra
-----------------    --------------
wave function        vector
linear operator      matrix
eigenstates          eigenvectors
physical system      Hilbert space
physical observable  Hermitian matrix

Answer 2

Bueno, aprende álgebra lineal. Un texto avanzado (sobre álgebra lineal sobre sistemas numéricos "de campo") es este notas de clase [html] de la UC Davis.

Una vez que tengas eso hecho, deberías estudiar ecuaciones diferenciales. O si quieres pasar de largo, quizás el análisis de Fourier. Una referencia gratuita sería mis notas [pdf]. Está ligeramente orientado a la física, pero conecta las ideas con el álgebra lineal.

La mecánica cuántica, cuando la reduces, es un análisis de Fourier. (En lugar del "dominio de la frecuencia" tienes el "espacio del momento", etc.)

Answer 3

Sugiero conseguir una copia usada de Zetteli . El capítulo 2 es un estudio de las herramientas matemáticas de la QM, y el comienzo del capítulo 3 son los postulados de la QM.

Eso te mostrará directamente las matemáticas que necesitas, y puedes consultar otros libros para obtener explicaciones más detalladas de las partes que te dan problemas.

Las matrices y los vectores son importantes porque se adaptan muy bien a las matemáticas de la QM, por lo que constituyen el lenguaje básico en el que se expresa la QM. A medida que continúes estudiando álgebra lineal, aprenderás sobre los vectores propios y los valores propios. Estos se utilizan para describir el proceso de medición, que es esencial para la QM.

Answer 4

El primer paso importante sería el cálculo. En realidad, sólo hay que familiarizarse con la integración y la diferenciación de todo tipo de funciones. A partir de ahí, un poco de conocimiento de las ecuaciones diferenciales puede servir de mucho. Sabiendo sólo esto puedes resolver algunos problemas básicos. "Early Transcendentals" de Thomas es un buen libro de cálculo. Luego hay algunos buenos libros de física matemática que cubren muchos temas diferentes, desde el álgebra lineal hasta el análisis complejo. No me gusta especialmente este libro pero lo uso, "Mathematical Methods in the Physical Sciences" de Mary Boas.

Answer 5

Las matrices cuadradas simétricas (o más bien complejas hermitianas) representan los observables de un sistema mecánico cuántico. Sus valores propios representan los posibles valores observados en experimentos ideales. Existe una base de valores propios ortonormales, que permite escribir cualquier vector de estado como una combinación lineal (superposición) de vectores base. Los valores absolutos al cuadrado de los productos internos definen las probabilidades. Luego se necesitan funciones de matrices, en particular la exponencial matricial, que da la dinámica de un sistema, y una solución explícita de la ecuación de Schroedinger en el caso de un sistema de n niveles.

Por lo tanto, es necesario aprender lo suficiente para poder tener un buen dominio de estos conceptos: matriz, transposición, transposición conjugada, combinación lineal, base, valor propio, vector propio, producto interno, serie de potencias de la matriz, exponencial de la matriz. Wikipedia tiene buenos artículos de resumen sobre cada uno de estos temas, para ayudarte a dar una visión general. Puedes saltarte otros temas, y volver a ellos en caso de que los necesites.

En el análisis se necesitan sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (están relacionados con la matriz exponencial), y la transformada de Fourier. Esta última implica la integración en 3 dimensiones, pero, de nuevo, puedes saltarte muchas cosas y volver a las que te has saltado cuando las necesites.

Entonces puedes buscar en varios textos de mecánica cuántica o notas de clase, por ejemplo mi libro en línea http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 - el primer capítulo debería ser comprensible incluso con pocos conocimientos previos, si se pueden aceptar tímidamente los conceptos sin una comprensión total. Mis preguntas frecuentes http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html también puede ser de ayuda. Al leerlos y anotar dónde te pierdes, puedes averiguar qué otros conceptos necesitas para dar sentido a tu lectura. Esto te dirá qué más necesitas aprender. En definitiva, casi todo el álgebra lineal y el análisis son útiles en mecánica cuántica, pero qué y cuándo depende de lo que te interese.