Cómo calcular el $n_{th}$ derivado de una composición: ${\left( {f \circ g} \right)^{(n)}}=?$

Question

Sé que hay una fórmula general para calcular el $n_{th}$ derivado de un producto que es el siguiente

${\left ({fg} \right)^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0} ^ n {\left ({\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{matriz}} \right){f^ {(n-k)}}{g^{(k)}}} $$

Me pregunto si existe tal una fórmula general para el $n_{th}$ derivado de una composición. Específicamente, cómo encontrar una fórmula general para las siguientes:

$${\left( {f \circ g} \right)^{(n)}}=?$$

Answer 1

Una forma original de escribir Faa di Bruno fórmula (aunque no hay ningún cambio con la ejecución de la misma) se inicia con el cambio a la divide derivados: $$f^{[n]}(x)=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x)$$ Entonces $$\left(f\circ g\right)^{[n]}(x)=\sum_{P\in\mathcal{P}_n}f^{[\left\lvert P\right\rvert]}(g(x))g^{[P]}(x)$$ where $\mathcal{P}_n$ is the ordered partitions of $n$, and for one partition $P={}$"$n_1+n_2+\cdots+n_k$", $\lvert P\rvert=k$, and $g^{[P]}(x)$ is the product $g^{[n_1]}(x)g^{[n_2]}(x)\cdots g^{[n_k]}(x)$.

La escritura es incluso más bien como una ecuación de funciones en lugar de como una ecuación de salidas: $$\left(f\circ g\right)^{[n]}=\sum_{P\in\mathcal{P}_n}\left(f^{[\left\lvert P\right\rvert]}\circ g\right)\cdot g^{[P]}$$

Por ejemplo, para $n=4$, la orden de las particiones $$1+1+1+1,\quad 1+1+2,\quad 1+2+1,\quad 2+1+1,\quad 1+3,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 4$$

Por lo $$\left(f\circ g\right)^{[4]}=\left(f^{[4]}\circ g\right)\left(g^{[1]}\right)^4+3\left(f^{[3]}\circ g\right)\left(g^{[1]}\right)^2g^{[2]}+2\left(f^{[2]}\circ g\right)g^{[1]}g^{[3]}+\left(f^{[2]}\circ g\right)\left(g^{[2]}\right)^2+\left(f^{[1]}\circ g\right)g^{[4]}$$

Entonces, si usted quiere mutliply a través de por $4!$, usted tiene $$\left(f\circ g\right)^{(4)}=\left(f^{(4)}\circ g\right)\left(g^{(1)}\right)^4+6\left(f^{(3)}\circ g\right)\left(g^{(1)}\right)^2g^{(2)}+4\left(f^{(2)}\circ g\right)g^{(1)}g^{(3)}+3\left(f^{(2)}\circ g\right)\left(g^{(2)}\right)^2+\left(f^{(1)}\circ g\right)g^{(4)}$$

Answer 2

Fórmula de Faà di Bruno te pueden interesar:

$ {\left ({f \circ g} \right)^{(n)}} = \sum_ {m_1 2m_2 + \dots + nm_n = n} \frac{n!} {\prod_{i=1}^n m_i! (i)! ^ {m_i}} \left(\prod_{j=1}^n(g^{(i)}) ^ {m_i} \right){\left(f^{(m_1+\ldots+m_n)} \circ g\right)} $