Segundo grupo de homotopía real Grassmannians $\textrm{Gr}(n,m)$, especial caso $n=m=2$ no claro.

Question

He estado considerando la posibilidad real Grassmanians $$\textrm{Gr}(n,m)=O(n+m)/O(n)\times O(m)$$ que aparecen en ciertas física de la materia condensada contexto (espacio de real tv de banda Hamiltonianos $Q(k)$ $n$ ocupados $m$ desocupado bandas, la realidad viene de la conmutación con antiunitary tiempo de reversión cuadratura a $1$), y estoy interesado en su segundo homotopy grupo.

Si entiendo correctamente, esto puede ser derivada a partir de la secuencia exacta (https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration#Long_exact_sequence_of_homotopy_groups) $$\pi_2[O(n+m)]\to\pi_2[\textrm{Gr}(n,m)]\to \pi_1[O(n)\times O(m)]\to\pi_1[O(n+m)].$$

El resultado depende de la elección de $n$$m$. Si yo no hice ningún error, se pueden pedir todos los resultados en una tabla ordenada: $$\begin{array}{c||c|c|c} & n=1 & n=2 & n \geq 3 \\ \hline m=1 & 1 & \mathbb{Z} & 1 \\ m=2 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} & \mathbb{Z}\\ m\geq 3 & 1 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_2 \end{array}$$ donde $1$ es el trivial de un grupo de elementos.

Creo que yo no entiendo la mayoría de estas entradas. El $\color{blue}{\textrm{blue}}$ en aquí $$\begin{array}{c||c|c|c} & n=1 & n=2 & n \geq 3 \\ \hline m=1 & 1 & \color{blue}{\mathbb{Z}} & 1 \\ m=2 & \color{blue}{\mathbb{Z}} & \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} & \mathbb{Z}\\ m\geq 3 & 1 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_2 \end{array}$$ provienen del hecho de que $$\textrm{Gr}(1,2)\cong \textrm{Gr}(2,1) \cong \mathbb{R}P^2$$ es el espacio de líneas a través de las $0$ en 3D, y topológicamente se ve como una media esfera. Uno, obviamente, puede envolver $S^2$ a su alrededor un número entero de veces, así que la segunda homotopy grupo son enteros.

Para el $\color{LimeGreen}{\textrm{green}}$ entradas aquí $$\begin{array}{c||c|c|c} & n=1 & n=2 & n \geq 3 \\ \hline m=1 & 1 & \mathbb{Z} & 1 \\ m=2 & \mathbb{Z} & \color{LimeGreen}{\mathbb{Z}}\times\mathbb{Z} & \color{LimeGreen}{\mathbb{Z}}\\ m\geq 3 & 1 & \color{LimeGreen}{\mathbb{Z}} & \color{LimeGreen}{\mathbb{Z}_2} \end{array}$$ También sé que una explicación, aunque sólo en términos de la física: En el $S^2$ uno define un "polo norte" $\mathrm{N}$ y un "polo sur" $\textrm{S}$, y elige un conjunto de rutas $\gamma(\theta)$ ($\theta \in[0,\pi]$) tal que

• $\gamma(\theta)$ depende continuamente en $\theta$,
• $\gamma(0) = \textrm{N}$ $\gamma(\pi) = \textrm{S}$ son sólo los puntos,
• y para $0<\theta<\pi: \textrm{N},\textrm{S}\notin \gamma(\theta)$.

Analogía con parallels en un mundo que podría ser útil. Obviamente $\cup_\theta \gamma(\theta)=S^2$. La física de la interpretación tiene que ver con una Wilson lazo operador (creo que esto corresponde a transporte paralelo en matemáticas -- no 100% seguro) en un trazado cerrado $\gamma$ $$W(\gamma) = \overline{\prod_{k\in\gamma}} P_k = \overline{\exp}\left[-\int_\gamma \mathcal{A}(k)\right]$$ donde $P_k = \sum_{a=\textrm{occ}} u_{k,a}^{\phantom{\top}} u_{k,a}^\top$ es el proyector en los territorios ocupados (autovalor negativo) o, alternativamente, desocupada (autovalor positivo) vectores propios de la Hamilotnian $Q(k)$$k$, la barra horizontal "$\,\overline{\phantom{\exp}}\,$" indica la ruta de pedido, $\mathcal{A}$ el (Wilczek-Zee-)Baya de conexión, y los puntos de $k$ encuentran a lo largo de $\gamma$ (un límite adecuado con el número de puntos de $N\to\infty$ se supone).

Ahora la interpretación de la $\color{LimeGreen}{\textrm{green}}$ homotopy grupos: se puede demostrar que $W(\gamma)$ es un invariante gauge $O(n)$ o $O(m)$ matriz (dependiendo de si uno se enfoca en positivo o negativo autovalores). Elegimos el más pequeño, es decir,$O(\min\{n,m\})$. Ahora miramos la función continua $W(\gamma(\theta))\equiv W(\theta)$. Debido a las condiciones mencionadas anteriormente, $W(0) = W(\pi)$ es sólo la unidad de la matriz $1\in SO(\min\{n,m\})$, y se traza algunas camino cerrado en $SO(\min\{n,m\})$ para valores intermedios de $\theta$. Así hemos construido un invariante topológico relativa a $\pi_1 [SO(\min\{n,m\})]$ que se entiende por $\mathbb{Z}$$SO(2)$, e $\mathbb{Z}_2$ para los grandes argumentos. Esto le da a la $\color{LimeGreen}{\textrm{green}}$ entradas.

Pero hay uno más no trivial de la entrada, el $\color{red}{\textrm{red}}$ uno $$\begin{array}{c||c|c|c} & n=1 & n=2 & n \geq 3 \\ \hline m=1 & 1 & \mathbb{Z} & 1 \\ m=2 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}\color{red}{\times\mathbb{Z}} & \mathbb{Z}\\ m\geq 3 & 1 & \mathbb{Z} & \mathbb{Z}_2 \end{array}$$ que no tengo ni idea acerca de.

Me preguntaba si alguien tiene algo de visión o incluso la adecuada visualización de $\textrm{Gr}(2,2)$ me ayudará a conseguir a través de este último. ¿Alguno de ustedes tiene una idea de lo que es el significado de ese $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$? O tal vez alguna referencia disponible en la topología de la real Grassmannians? Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Aquí hay un par de maneras para ver que $\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)$$S^2\times S^2$.

Método Uno: Vamos a $\mathrm{UT}S^3$ ser la unidad de la tangente paquete de $S^3$. Este es un subbundle de la tangente bundle, que contiene sólo la unidad de los vectores de tangentes. Se puede definir como

$$ \mathrm{UT}S^3=\{(u,v):\in S^3\times S^3:u\perp v\}\subseteq\mathbb{R}^4\times\mathbb{R}^4 $$

Cada par ordenado de vectores perpendiculares induce una orientada al avión (uno de ellos español), en cuyo caso obtenemos un mapa de $\mathrm{UT}S^3\to\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)$. Las fibras son todos los pares ortogonal de vectores unitarios en un plano dado con la orientación correcta; cada par se determina por el primer vector, por lo que las fibras simplemente se los círculos $S^1$.

Por otro lado, si tratamos $S^3$ como la unidad de cuaterniones, tenemos una banalización

$$ \mathrm{UT}S^3\xrightarrow{\sim} S^3\times S^2: \quad (u,v)\mapsto (u,vu^{-1}). $$

Aquí tratamos $S^2$ como el conjunto de unidad imaginaria cuaterniones. Esto es cierto porque cada vector tangente a $u$ será de la forma $wu$ donde $w$ es un vector tangente a la identidad.

Lo que hace la banalización hacer para fibras? Los elementos de la fibra de $(u,v)\mapsto\mathrm{span}(u,v)$ son de la forma $(e^{\theta w}u,e^{(\theta+\pi/2)w}u)$ donde $w=vu^{-1}$, que se convierten en $(e^{\theta w}u,w)$. En otras palabras, las fibras de convertirse en derecho cosets de el círculo de grupo $S^1=\exp(\mathbb{R}w)$ (en la primera coordenada), que es una fibra del mapa $(q,w)\mapsto (qwq^{-1},w)$ (órbita-estabilizador teorema), un fibration $S^3\times S^2\to S^2\times S^2$.

Por construcción, la banalización $\mathrm{UT}S^3\to S^3\times S^2$ es un diffeomorphism que restringe a diffeomorphisms en cada fibra de sus respectivos fibrations; por lo tanto, determinan un diffeomorphism de base de los espacios de $\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)\to S^2\times S^2$.

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Método De Los Dos. Con el Arrancador de la incrustación de podemos colocar $\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)$ dentro $\Lambda^2\mathbb{R}^4$. Cada orientadas plano ordenado en la base ortonormales $\{u,v\}$ se identifica con $u\wedge v$, que es fácilmente controlado independiente de la elección de la base para el avión.

La imagen puede ser identificado como las soluciones del sistema

$$ x\wedge x=0, \qquad |x|^2=1. $$

Para ver esto, enchufe $x=a\wedge b+c\wedge d$ a $x\wedge x=0$. La segunda ecuación se normaliza $x$. (Nota: la imagen de este en $\mathbb{P}(\Lambda^2\mathbb{R}^5)=\mathbb{RP}^5$ es el llamado Klein quadric.) El producto interior en $\Lambda^2\mathbb{R}^4$ es inducida a partir de la una en $\mathbb{R}^4$ en la forma estándar:

$$ \langle a\wedge b,c\wedge d\rangle=\det\begin{pmatrix} \langle a,c\rangle & \langle a,d\rangle \\ \langle b,c\rangle & \langle b,d\rangle \end{pmatrix}. $$

El acto de "tomar ortogonal complementa" es una involución en $\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)$ que se extiende a un operador lineal en $\Lambda^2\mathbb{R}^2$ orden $2$, llama la estrella de Hodge $\ast$. Por otra parte, $\ast$ respeta el interior del producto, y tiene dos autovalores, $\pm1$. El $+1$ $-1$ subespacios propios se componen de elementos de la forma $a\wedge b+c\wedge d$ $a\wedge b-c\wedge d$ respectivamente, donde $\{a,b,c,d\}$ rangos ordenados ortonormales bases de la inducción de la misma orientación que la de coordenadas de la base.

(En virtud de la identificación de $\Lambda^2\mathbb{R}^4\cong\mathfrak{so}(4)$ donde $a\wedge b$ actúa como operador lineal que gira $a$ $b$y aniquila el complemento ortogonal de $a$ $b$'s lapso, siempre que $a,b$ son ortonormales, la $\pm1$ subespacios propios corresponden a izquierda y derecha isoclinic rotaciones, que a su vez corresponden a izquierda y derecha de la multiplicación de las $\mathbb{H}\cong\mathbb{R}^4$ por el imaginario cuaterniones.)

Llame a la $\pm1$-subespacios propios $\Lambda^2_L$ $\Lambda^2_R$ respectivamente. Ellos son perpendiculares con respecto a $\wedge$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ (es decir, $\nu_1\wedge \nu_2=\langle \nu_1,\nu_2\rangle=0$ siempre $\nu_1\in\Lambda^2_L$$\nu_2\in\Lambda^2_R$) y la forma bilineal $\wedge$ ha firmas $(3,0)$ $(0,3)$ sobre ellos.

Escribir $x=\nu_1+\nu_2$. A continuación, $x\wedge x=0$ corresponde a $|\nu_1|=|\nu_2|$ $|x|^2=1$ corresponde a $|\nu_1|^2+|\nu_2|^2=1$, por lo $\widetilde{\mathrm{Gr}}(2,2)$ es el producto directo de dos esferas de radio $1/\sqrt{2}$ dentro de los subespacios propios de a $\ast$, es decir,$S^2\times S^2\subset\Lambda^2_L\oplus\Lambda^2_R$.

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El último método llega al corazón de lo que está pasando, en mi opinión: cada orientadas plano (correspondiente a $a\wedge b$) induce un par de izquierda y derecha formas (correspondiente a $(a\wedge b\pm c\wedge d)/2$ donde $\{c,d\}$ abarca el complemento ortogonal). Lo que no es tan obvio es que esta es una correspondencia uno a uno: cada par de (normalizado) a la izquierda/derecha formas determina una orientada a un plano, a la izquierda/derecha formas pueden ser controlados de forma independiente el uno del otro, y el (normalizado) a la izquierda/derecha de los formularios de cada forma de una esfera. Esto es algo mágico que sucede en $4$ dimensiones.

Answer 2

Hay una correspondencia entre el orientado Grassmann colector $\tilde{\mbox{Gr}}(2,2)$$S^2 \times S^2$. Supongo que esto es una especie de "clásico" de hecho, sé que no es una prueba en [H. Gluck y F. Warner, el Gran círculo fibrations de la tres-esfera] (véase el Lema 5.2), tal vez hay una intuitiva prueba, pero no sé que fuera de la parte superior de mi cabeza.

En cualquier caso, las orientadas Grassmann doble cubre los perdidos uno, por lo que la segunda homotopy grupos son los mismos. Así

$$ \pi_2(\mbox{Gr}(2,2)) = \pi_2(S^2 \times S^2) = \pi_2(S^2) \times \pi_2(S^2) = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}. $$