Diferencias entre simetrías y isometries

Question

a lo largo del siguiente pregunta, cada vez estoy equivocado por favor me corrija!

Recientemente me llegó a través de las nociones de simetría y la isometría. Sin embargo, hay algo oscuro (sin duda en mi cabeza), sobre la distinción de las dos cosas. Por ejemplo, digamos que $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n},$ es arbitraria objeto geométrico (yo estoy buscando lo general el punto de vista de la noción de simetrías y isometrías, por lo tanto voy a asumir que por el momento no hay más estructura ha asumido en este objeto). A continuación, el grupo de simetrías de $\Sigma$, es $$Symm(\Sigma)= \{ \sigma \in Isom(\mathbb{R}^n) \thinspace | \thinspace \sigma(\Sigma) = \Sigma \},$$ mientras isometrías de $\mathbb{R}^n$ se definen como siempre, siendo la distancia-la preservación de los mapas de $\sigma : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n,$ que resultan ser continua, uno-a-uno y en (de ahí homeomorphisms de la subyacente estructura topológica inducida por la métrica). Ahora, digamos que una figura geométrica $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n},$ está dado por sí mismo de nuevo y alguien le pregunta, "¿Cuál es el grupo de isomotries y simetrías de $\Sigma$?". Entonces hay dos posibilidades:

• $\Sigma$, hereda la métrica por $\mathbb{R}^n,$ como un subespacio.
• $\Sigma$, se convierte en un espacio métrico con alguna otra métrica y la examinamos en el olvido de cualquier ambiente del espacio.

Ahora, para la primera, creo que las simetrías y isometrías coinciden, a la derecha (si no, un contraejemplo es suficiente)? Es sólo otro nombre para el mismo mapa $\sigma: \Sigma \rightarrow \Sigma$ que conserva las distancias. Pero, ¿qué sucede para el segundo caso?

Por ejemplo, para la última pregunta que tengo en mi mente el caso característico $\Sigma= \mathbb{S}^{n-1},$ $(n-1)$- dimensiones de la esfera que, naturalmente, hereda una métrica por $\mathbb{R}^n$, pero puede ser equipado con otro sistema de medición, por lo tanto, las isometrías cambio en esos dos casos, ya que diferentes tipos de medida se está aplicando cada vez. ¿Qué sucede si además asumimos algunos diferenciable estructura y alguien le pide el isomotries/simetrías de Riemmanian colectores en lugar de subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$? ¿Qué acerca de las simetrías y las isometrías en ese caso?

Gracias, espero que no lo hayas hecho algo mal, porque es mi primer post!!! Si sí, me dejan saber.

Answer 1

La palabra "simetría" en matemáticas es muy sobrecargados y realmente es dependiente del contexto déjenme intentar trabajar con su definición de simetría. Para solucionar algunos de notación, vamos a $(X,d_X)$ ser un espacio métrico. El grupo de isometrías de $(X,d_X)$ se define como

$$ \operatorname{Iso}(X,d_X) := \{ \phi \colon X \rightarrow X \, | \, \phi \text{ is one-to-one and onto and } d_X(\phi(x),\phi(y)) = d_X(x,y) \,\,\forall x,y \in X \}. $$

Dado un conjunto $\Sigma \subseteq X$, que sugieren la definición de

$$ \operatorname{Sym}(\Sigma) = \operatorname{Sym}(\Sigma,(X,d_X)) = \{ \phi \in \operatorname{Iso}(X,d_X) \, | \, \phi(\Sigma) = \Sigma \}. $$

Con el fin de discutir las isometrías de $\Sigma$, tenemos que poner en ella algunas métricas $d_{\Sigma}$. En general, si la métrica $d_{\Sigma}$ ponemos en $\Sigma$ no tiene nada que ver con la métrica $d_X$$X$, no habrá ninguna relación entre el$\operatorname{Iso}(\Sigma,d_{\Sigma})$$\operatorname{Symm}(\Sigma,(X,d_x))$. Sin embargo, como se señaló, se puede restringir $d$ $\Sigma$y definen $d_{\Sigma}(x,y) = d_X(x,y)$ y, a continuación, pregunte cuál es la relación entre el$\operatorname{Iso}(\Sigma,d_{\Sigma})$$\operatorname{Sym}(\Sigma, (X,d_X))$.

Tenemos una natural mapa de $T \colon \operatorname{Sym}(\Sigma) \rightarrow \operatorname{Iso}(\Sigma)$ definido por la restricción. Es decir, $T(\phi) = \phi|_{A}$. Sin embargo, este mapa es, en general, no de uno a uno ni sobre. Aquí están algunos ejemplos para pensar:

1. Deje $X = \mathbb{R}^n$ con el estándar métrico y $\Sigma = \{ 0 \}$. A continuación, $\operatorname{Sym}(\Sigma) = \operatorname{O}_n(\mathbb{R})$ mientras $\operatorname{Iso}(\Sigma) = \{ \operatorname{id} \}$. El problema aquí es que, mientras que cualquier simetría de $\Sigma$ nos da una isometría de $(\Sigma, d_{\Sigma})$, simetrías diferentes (en este caso, todas las simetrías) podría darnos la misma isometría.
2. Deje $(X,d)$ ser cualquier espacio métrico con $|X| \geq 2$ $\operatorname{Iso}(X,d) = \{ \operatorname{id} \}$ (un espacio sin isometrías). Elija dos puntos de $p \neq q$ $X$ y establezca $\Sigma = \{p, q \}$. A continuación, $\operatorname{Sym}(\Sigma) = \{ \operatorname{id} \}$ mientras $\operatorname{Iso}(\Sigma) = \mathbb{Z}_2$. El problema aquí es que una isometría de $(\Sigma,d_{\Sigma})$ no podría extenderse a una isometría de $(X,d)$.

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Por último, vamos a $(X,g)$ ser una de Riemann colector y $i \colon \Sigma \rightarrow X$ ser un submanifold de $X$. El uso de $g$, se puede definir una función de distancia $d_g$, lo que convierte a $X$ a de un espacio métrico y, a continuación, el grupo de isometrías de $(X,g)$ (de Riemann del colector) es el mismo que el grupo $(X,d_g)$ (como un espacio métrico). Ahora podemos hacer dos cosas:

1. Podemos restringir $d_g$ $\Sigma$para obtener una métrica $d_1$ y preguntar a su pregunta anterior.
2. Podemos dotar $\Sigma$ con la métrica de Riemann $i^{*}(g)$, considerar la métrica $d_2 = d_{i^{*}(g)}$ y preguntar a su pregunta anterior.

Para ver la diferencia, vamos a tomar el ejemplo de $X = \mathbb{R}^3$ con el estándar métrico de Riemann y $\Sigma = S^{2}$ a ser la unidad de la esfera. Si realizamos el primer procedimiento, obtenemos una métrica $d_1$ $S^{2}$ tal que $d_1(x,y) = |x - y|$. Por ejemplo, $d_1(N,S) = 2$ donde $N,S \in S^{2}$ son el polo norte y el polo sur. Si llevamos a cabo el segundo procedimiento, obtenemos una métrica $d_2$ que $d_2(N,S) = \pi$ porque $d_2(N,S)$ es la longitud de la minimización de la distancia geodésica de $S^2$ que es un gran círculo.

En general, $(\Sigma,d_1)$ $(\Sigma,d_2)$ no son isométrica (como se puede ver en este ejemplo). Como antes, se han mapas de $\operatorname{Sym}(\Sigma) \rightarrow \operatorname{Iso}(\Sigma,d_i)$ pero no tiene que ser uno-a-uno o en.