¿Por qué nos extrañamos 8 en 0.012345679..., 98 en 0.0001020304050607080910111213..., y así sucesivamente en las fracciones como 1/81, 1/9801, y así sucesivamente?

Question

He visto esto suceder que al dividir por una fracción usando el cuadrado de cualquier conjunto de nueves en el denominador dependiendo de cuántos hay como ${1\over 99^2}={1\over 9,801}$, consigue $0.000102030405060708091011121314151617181920 \cdots$, y continúa cuando, de repente, la señorita 98 como aquí: $\cdots 95969799000102 \cdots$ y sigue yendo para siempre.

¿Cómo sucede esto, como cuando echamos de menos a los números de $8,98,998$ o $9,998$ en las fracciones como $1\over 81$ $\left(1\over 9^2 \right)$, $1\over 9,801$ $\left(1\over 99^2\right)$, $1\over 998,001$ $\left(1\over 999^2\right)$, o $1\over 99,980,001$ $\left(1\over 9,999^2\right)$ poner en orden de acuerdo a los números que se pierda en las fracciones?

Yo lo he visto, pero ¿cómo es posible? Busco inteligencia en tus respuestas!

Answer 1

Para $\frac{1}{81}$ al menos, no era una $8$, pero he topado. $\frac{1}{81} =$

  .0
+ .01
+ .002
+ .0003
+ .00004
+ .000005
+ .0000006
+ .00000007
+ .000000008
+ .0000000009
+ .00000000010
+ .000000000011 ... and so on
---------------------
= .01234567901  ... and so on

Este tipo de efecto de "llevar a la $1$" cuando el nueve dígitos voltea a un diez es lo que está causando el comportamiento en todas las fracciones que usted está describiendo.

Edit: Para el seguimiento, este debe proporcionar un poco más de idea de por qué patrones interesantes aparecen en las representaciones decimales de las fracciones con un múltiplos de $9$ o $11$ como el denominador. Primera nota de que $$ \frac{1}{9} = \Big( \frac{1}{10}+ \frac{1}{100}+ \frac{1}{1000}+ \dotsb \Big) $$ así que si se considera $\frac{1}{81}$, al igual que antes, hubiéramos $$ \frac{1}{81} = \Big(\frac{1}{9}\Big)^2 = \Big( \frac{1}{10}+ \frac{1}{100}+ \frac{1}{1000}+ \dotsb \Big)^2 $$ Entonces si se desea saber el valor de la diez milésima parte decimal de lugar de $\frac{1}{81}$, sólo tendríamos que encontrar el numerador de la expresión en la expansión de esta plaza, con un denominador de $10000$, lo que fácilmente podemos ver es $$\begin{align} \frac{1}{81} = \Big( \dotsb + \Bigg(\Big(\frac{1}{10}\Big)\Big(\frac{1}{1000}\Big)+\Big(\frac{1}{100}\Big)&\Big(\frac{1}{100}\Big)+\Big(\frac{1}{1000}\Big)\Big(\frac{1}{10}\Big)\Bigg) +\dotsb \Big) \\ = \Big( \dotsb + \Big(\frac{3}{10000}&\Big) +\dotsb \Big) \end{align}$$

So it looks like these evident patterns that appear in the decimal expansions of fraction with a multiple of $9$ in the denominator is due at least partly to the fact that this infinite sum representation of $\frac{1}{9}$ consists entirely of terms with a numerator of $1$, so multiplying this sum into things may result in "predictable" behavior that results in a pattern.

As for why having a multiple of $11$ en el denominador se hace patrones similares, tenga en cuenta que $$\begin{align} \frac{1}{11} &= .090909090909090909 \dots \\ &= \Big(\frac{9}{100}+\frac{9}{10000}+\dotsb\Big) \\ &= \Big(\frac{10-1}{100}+\frac{10-1}{10000}+\dotsb\Big) \\ &= \Big(\frac{1}{10}-\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}+\dotsb\Big) \end{align}$$ Así que de nuevo tenemos una suma infinita de términos, cada uno con un numerador de $1$ (sólo alternando el signo de este tiempo) será el resultado de ciertos "predecible" patrones cuando se multiplica por las cosas.

Answer 2

"Originalmente" había 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102 ... pero dado que sólo hay dos dígitos de las posiciones de cada uno de ellos, el que está en frente de 100, 101, y así sucesivamente lleva a través del número en frente de ella y que aumenta anterior número 1. Esto hace que el 99 a 100, y el frente de la que luego se traslada a los 98 y hace 99. Y ahí es donde la lleva a la parada.

Así que la razón por qué exactamente 98 es el que falta es que el 98 es el más grande en número de dos dígitos que puede ser aumentado por uno, sin obtener otro dígito que iba a llevar.

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Puede ser instructivo ver qué pasa si nos fijamos en algunos de los otros "original" patrón de 0, 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100, 101 ...

Por ejemplo, $\frac{7}{9801}$ debe producir

0, 7, 14, 28, ..., 84, 91, 98, 105, 112, 119 ...

pero cuando se lleva a cabo la división de los dígitos que nos dan son:

7/9801 = 0.00071428...849199061320...

debido lleva. Aquí se ve con más claridad que el 98 no es "falta", es sólo incrementa de uno en uno, como en los dos últimos dígitos de la posterior números en la secuencia.

También podemos ver

9/9801 = 0.00091827...819100091827...

Aquí, como en $\frac1{9801}$ hay un 99 en la secuencia original, pero se golpea hasta el 100 por realizar y, a continuación, el "original" de 90 a su vez se golpea hasta el 91. Del mismo modo

11/9801 = 0.0011223344556677890011223344...

Hay dos de cada dígito , excepto el 8 y el 9! De nuevo, lo que realmente sucede es que la original 99 se golpea a 100, que de nuevo protuberancias 88 a 89.

Answer 3

Aquí está mi respuesta ahora: El ocho se golpea a un nueve y las nueve se golpea a un cero a la derecha aquí: $0.01+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+0.0000006+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.012+0.0003+0.00004+0.000005+0.0000006+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.0123+0.00004+0.000005+0.0000006+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.01234+0.000005+0.0000006+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.012345+0.0000006+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.0123456+0.00000007+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.01234567+0.000000008+0.0000000009+0.00000000010=0.012345678+0.0000000009+0.00000000010=0.0123456789+0.00000000010=0.0123456790$esto es lo que sucede. Tal como acabamos de ver, la 0.00000000010 (0.0000000001) los cambios de los nueve a cero y se lleva a uno al ocho, por lo que se convierte en una de las nueve.