Encontrar $\lim_{n \to \infty} \left[\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}} \right]$ (pregunta en trivia)

Question

Mi amigo de la trivia de la liga tenido esta pregunta de matemática:

$$\lim_{n \to \infty} \left[\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}} \right]$$

Después de la computación de unos valores, uno podría adivinar la respuesta es $e$ = 2.718...Pero ¿cómo podemos demostrar que es el límite?

Alguien ofreció una mano-ondulado prueba como esta:

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \left[\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}} \right] & = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{(n+1)(n+1)^{n}}{n^n} - \frac{n \cdot n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[(n+1)\frac{(n+1)^{n}}{n^n} - n\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[(n+1)\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n - n\left(\frac{n - 1 + 1}{n-1} \right)^{{n-1}} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[(n+1)\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n - n\left(1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[(n+1)e - n \cdot e \right] \\ &= \lim_{n \to \infty} e \\ &= e \end{align}

La parte acerca de la sustitución de $e$ es mano ondulado ya que técnicamente esta es una forma indeterminada de $\infty - \infty$. Y el uso de $e$ como límite superior no me llevan a una sencilla prueba.

Es allí una manera de demostrar rigurosamente el límite? He intentado un par de aproximaciones: (a) intercalando el límite--pruebo $e$ era un límite inferior, pero no pude encontrar un adecuado límite superior de la convergencia a la $e$, (b) usando la regla de L'Hospital sin suerte, (c) utilizando el valor medio teorema--pero que también tienes complicado.

Así que esto es bastante difícil problema de preguntar en la trivia! Es allí una manera de demostrar que este límite formalmente?

Fuentes

Pregunta de la Trivia: http://learnedleague.com/question.php?72&16&4

Hilo sobre curiosidades: http://learnedleague.com/viewtopic.php?f=10&t=7961&hilit=euler

Mano-ondulado prueba: http://imgur.com/rIXghhw

Idea para el valor medio teorema: http://www.pharout.com/trickylimitproblem.pdf

Answer 1

Significa planteamiento del teorema de valor: definir

$$f(x) = \frac{(x+1)^{x+1}}{x^x}.$$

Diferenciación logarítmica muestra

$$\tag 1 f'(x) = \frac{(x+1)^{x+1}}{x^x}\ln (1+1/x) = (1+1/x)^x(x+1)\ln (1+1/x).$$

Queremos que el límite de $f(x)-f(x-1).$ $(1),$ esta diferencia es igual a los MVT

$$(1+1/c)^c(c+1)\ln (1+1/c)\cdot 1$$

$c=c_x \in (x-1,x).$ Como $x\to \infty,$ $c_x\to \infty.$ ahora sabemos $(1+1/c)^c \to e,$ y verificación de $(c+1)\ln (1+1/c) \to 1$ es estándar. El límite deseado es por lo tanto $e.$

Answer 2

Aquí, presentamos un desarrollo riguroso que se basa en expansiones asintóticas. Proceder, tenemos

$$\begin{align} \frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}}&=(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-n\frac{1}{\left(1-\frac1n\right)^{n-1}}\\\\ &=(n+1)e^{n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}-ne^{-(n-1)\log\left(1-\frac{1}{n}\right)}\\\\ &=(n+1)e^{1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right)}-ne^{1-\frac1{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\\\\ &=e\left(n+\frac12+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)-e\left(n-\frac12+O\left(\frac1n\right)\right)\\\\ &=e+O\left(\frac1n\right) \end {Alinee el} $$

Tomando el límite como $n\to \infty$, tenemos

$$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}}\right)=e$$

Answer 3

Podemos ver que $$A = \frac{(n + 1)^{n + 1}}{n^{n}} = \exp((n + 1)\log (n + 1) - n \log n) = \exp(\log n + (n + 1)\log(1 + 1/n))$$ and similarly $$B = \frac{n^{n}}{(n - 1)^{n - 1}} = \exp(\log n - (n - 1)\log(1 - 1/n))$$ and subtracting we get $% $ $A - B = e^{a} - e^{b} = e^{b}(e^{a - b} - 1) = e^{b}\cdot\frac{e^{a - b} - 1}{a - b}\cdot (a - b)$donde\begin{align} a - b &= (n + 1)\log(1 + 1/n) + (n - 1)\log(1 - 1/n)\notag\\ & = \log(1 + 1/n) - \log(1 - 1/n) + n\log(1 - 1/n^{2})\notag \end {Alinee el} que muestra que el $a - b \to 0$ y $(e^{a - b} - 1)/(a - b) \to 1$. Por otra parte sabemos que $B/n = e^{b}/n \to e$. El límite deseado está dado por el $$\lim_{n \to \infty}e^{b}(a - b) = \lim_{n\to\infty}\frac{B}{n}\cdot n(a - b)$% #%n(a-b) \to 1 $ and clearly $e$ de #%.

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En el anterior hemos usado los siguientes hechos $ so that the overall limit is $ $

Answer 4

Casi como en el espíritu como en la respuesta del Dr. MV, considerar $$A_n=\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n}\implies \log(A_n)=(n+1)\log(n+1)-n\log(n)$$ Now, using Taylor $$\log (A_n) = 1 + \log \left({n}\right) + \frac {1} {2 n}-\frac {1} {6 n ^ 2} + \frac {1} {12 n ^ 3} + O\left (\frac {1} {n ^ 4} \right) $$ Taylor again $$A_n=e^{\log(A_n)}=e n+\frac{e}{2}-\frac{e}{24 n}+\frac{e}{48 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Doing the same for the second piece $ A_ {n-1} $, entonces tenemos $$\frac{(n+1)^{n + 1}}{n^n} - \frac{n^{n}}{(n-1)^{n-1}}=e+\frac e{24n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ $ que muestra el límite y cómo se aborda.

Apenas para la diversión, use $n=10$ y observe que la diferencia entre el valor exacto y aproximado es $\approx 4.7\times 10^{-6}$.