¿Puedo aplicar L ' Hôpital a $\lim_{x \to \infty} \frac{x+\ln x}{x-\ln x}$?

Question

Puedo aplicar L'Hôpital a este límite: %#% $ #% no estoy seguro si puedo porque he aprendido que usar L'Hôpital sólo si tenemos $$\lim_{x \to \infty} \frac{x+\ln x}{x-\ln x}?$ $\frac{0}{0}$% y aquí $\frac{\infty}{\infty}$es $x-\ln x$ y x tiende a infinito.

Answer 1

Como una alternativa al cálculo de Stefano, en cuenta que el derivado de $x-\log x$ $1-\frac1x$, $\ge \frac12$ cuando $x\ge 2$. Así, por el teorema del valor medio tenemos $$ x-\log x \ge 2-\log 2 + \frac{x-2}{2} $ $ % los $x\ge 2$, y la derecha de esto claramente va a $\infty$.

Así $x-\log x\to \infty$ cuando $x\to\infty$.

También es claro que $x+\log x$ va a $\infty$ $x\to\infty$, por lo que le permiten intentar utilizar L'Hospital en su fracción.

Answer 2

Sugerencia No estoy seguro, usted realmente necesita aquí la regla de L'Hospital. ¿Nota que se pueden dividir la parte superior e inferior de la fracción por $x$, para obtener $$ \frac{x+\ln x} {\ln x x} = \frac{1+\frac{\ln x} {x}} {1-\frac {\ln x} {x}} $$ hace esta cosas hace más fácil?

Answer 3

$x -\ln x$ va a $+\infty$ si y sólo si $e^{x-\ln x}$ hace. Y este es el caso, ya que

$$e^{x-\ln x} = \frac{e^x}{x} \ge \frac{1+x+\dfrac{x^2}{2}}{x} \to +\infty $$

$x \to +\infty$. Así que sí, se puede aplicar de l'Hopital desde el principio.

Answer 4

Tal vez es mejor escribir: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x+\log x}{x-\log x}=\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{\log(x)}{x}}{1-\frac{\log(x)}{x}}$ $

Answer 5

Usted está absolutamente correcto observar que $\infty-\infty$ no tiene sentido. Pero no cómo uno va sobre evaluación $\lim_{x\to\infty}(x-\ln x)$. Entre la manera correcta es tener en cuenta que, $x\gt2$,

$$x-\ln x=1+\int_1^x\left(1-{1\over t}\right)dt\gt\int_2^x\left(1-{1\over t}\right)dt\gt\int_2^x{1\over2}dt={x-2\over2}\to\infty$$

La primera desigualdad aquí simplemente tira algunas cosas que es claramente positiva; la segunda asciende de desigualdad a restar de $1$ el mayor valor que $1\over t$ toma por $t\ge2$, es decir, $1\over2$.

Una vez que sabes que $\lim_{x\to\infty}(x+\ln x)=\lim_{x\to\infty}(x-\ln x)=\infty$, entonces es aceptable aplicar a L'Hopital y obtener

$$\lim_{x\to\infty}{x+\ln x\over x-\ln x}=\lim_{x\to\infty}{1+{1\over x}\over1-{1\over x}}={1+0\over1-0}=1$$