¿Puede una matriz inversible pero no diagonalizable?

Question

Al leer un capítulo sobre matrices diagonalizable, me encontré pensando:

¿Puede un $A \in \mathbb R^{n \times n}$ de la matriz inversible pero no diagonalizable?

Mi búsqueda rápida en Google no devolvió una respuesta clara.

Answer 1

Después de pensarlo más, me di cuenta de que la respuesta es "Sí".

Por ejemplo, consideremos la matriz

\begin{equation} A = \left [ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matriz} \right]. \end{Equation}

Tiene dos columnas linealmente independientes y por lo tanto es invertible.

Al mismo tiempo, tiene un único vector propio:

\begin{equation} v = \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{matriz} \right]. \end{Equation}

Ya que no tiene dos vectores propios linealmente independientes, no es diagonalizable.

Answer 2

Respuesta de Geometric(-ISH). Tomar, en $\mathbb R^2$, una rotación de ángulo $0<\theta<2\pi$ $\theta \neq \pi$. Entonces la matriz asociada es inversible (lo contrario que la rotación de $-\theta$) pero no es diagonalisable, puesto que ningún vector distinto de cero se asigna a un múltiplo de sí mismo por una rotación de dichos ángulos.