Puede el polinomio $1+x+x^2+\dots +x^n$ tener en cuenta, para algunos $n\ge 1$, en un producto de dos no-constante de polinomios con coeficientes positivos?
Pensamientos
Es fácil factor en polinomios con no negativo, por ejemplo, los coeficientes de $$ 1+x+x^2+x^3 = (1+x)(1+0 x + x^2), $$ pero yo no tengo ningún ejemplo con coeficientes positivos. Creo que este debería ser posible que un gran $n$, ya que hay muchos (algo parecido a $2^{\lceil n/2\rceil-1}$) formas de factor de $1+x + x^2 +\dots + x^n$ en un producto de dos monic polinomios con coeficientes reales.
La motivación de la teoría de la probabilidad
La pregunta está motivada por Puede la suma de dos independientes de r.v.'s convexos de apoyo a estar distribuidos de manera uniforme?
Es decir, podemos hacernos una discreta contraparte:
Si una discreta uniforme de la variable aleatoria (es decir, el que toma los valores de $0,1,\dots,n$ con igualdad de probabilidades) se puede descomponer en una suma de independiente no constantes de las variables aleatorias, cada uno de los que van a través de un conjunto de consecutivos enteros?
El enlace es proporcionada por la probabilidad de generación de función (pgf): $$ m_Y(x) = \mathbb E[x^{Y}]. $$ Si la variable aleatoria $Y$ toma los valores de $0,1,\dots,k$ con un resultado positivo de probabilidades, su pgf es un polinomio con coeficientes positivos: $$ m_Y(x) = \sum_{i=0}^k \mathbb{P}(Y=i) x^i; $$ en particular, para una variable aleatoria $U_n$, distribuidos de manera uniforme en $\{0,1,\dots,n\}$, $$ m_{U_n}(x) = \frac1{n+1}\bigl(1+x+x^2+\dots + x^n\bigr). $$
Ya que para variables aleatorias independientes, la pgf de suma si un producto de las fuerzas progubernamentales: $$ m_{Y'+Y"}(x) = \mathbb E[x^{Y'+Y"}] = \mathbb E[x^{Y'}]\mathbb E[x^{Y"}] = m_{Y'}(x)m_{Y"}(x)\etiqueta{1} $$ estas dos preguntas son equivalentes$^*$.
$^*$Nota de que, en general, $(1)$ no implica la independencia de $Y'$$Y''$. Sin embargo, si $m_Y$ factores, digamos, en $m_{Y'}$$m_{Y''}$, $Y$ tiene la misma distribución que la suma de copias independientes de $Y'$$Y''$, y, de hecho, tenemos el deseado de descomposición.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Puede el polinomio $1+x+x^2+\dots +x^n$ tener en cuenta, para algunos $n\ge 1$, en un producto de dos no-constante de polinomios con coeficientes positivos?
$$x^n+\cdots +x+1=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{\prod_{1\le k\le n+1}(x - e^{2i\pi k/(n+1)})}{x-1}=\prod_{1\le k\lt n+1}(x - e^{2i\pi k/(n+1)})$$ Para una factorización $x^n+\dots +x+1=g(x)h(x)$, $g$ y $h$ son productos de algunos $x-\zeta^k$ donde $\zeta$ es la raíz enésima de la unidad (hasta unidades (en este caso de la multiplicación por números reales positivos) sin embargo, dicha factorización implica un sin unidades). El líder plazo de ambos polinomios deben ser $1$ porque es el producto de los principales términos que siempre se $1$. El término constante es también uno porque es el producto de la raíz de la unidad, por lo que su valor absoluto es $1$ y debe ser real y positivo.
$$(x^p+\cdots +1)(x^q+\cdots+1)=x^n+\cdots +x+1$$ Suponer sin pérdida de generalidad que $p\ge q$. Tomar la constante término del primer polinomio y multiplicar el líder término de la segunda y consigue $x^q$. $$\begin{align} (x^p+\cdots+ ax^q +\cdots +1)(x^q+\cdots+1) &=\cdots +ax^q1+ \cdots +1x^q +\cdots\\ &= \cdots +(\cdots+a+1)x^q \\ \end{align}$$ Todos los otros términos deben ser positivo y que sólo puede añadir a $x^q$, el coeficiente debe ser igual a $1$. Por lo tanto, todos los demás coeficientes de $x^q$ debe ser cero y $a$ es cero.
