Si $\sin x + \sin y = 1$ y $\cos x + \cos y = 0$, resolver $x$ y $y$

Question

• $\sin x + \sin y = 1$
• $\cos x + \cos y = 0$

Cualquier par válido de $(x, y)$ está muy bien, como las restricciones de la Junta en la siguiente imagen se oscurece.

Tengo la pregunta del capítulo 26 de un cómic llamado a Yamada-kun.

¿Cómo puedo resolver esta ecuación?

Answer 1

Hay un truco interesante: puede acoplar las dos ecuaciones escribiendo % $ $$ e^{ix}+e^{iy} = i \tag{1}$por lo tanto, $e^{ix}$ y $e^{iy}$, que son dos puntos en el círculo unitario, son fruto con respecto al eje imaginario. Al imponer que su suma tiene norma unidad, obtenemos claramente $\{x,y\}=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}$:

Answer 2

Hay muchas formas diferentes para resolver la verdadera cuestión es que de manera.

Lo llega a agarrarme es:

$\cos x + \cos y = 0$

$\cos x = - \cos y$ que significa o $y = \pi - x$ (dentro de un período de $2\pi$) o $y = x + \pi$ (dentro de un período de $2\pi$).

Si $y = x + \pi$ y $\sin y = - \sin x$ y $\sin y + \sin x = 0 \ne 1$ que es imposible.

Si $y = x - \pi$ y $\sin y = \sin x$ y $\sin y + \sin x = 2 \sin x$. Si esto es así (y es nuestra única opción) entonces $\sin x = 1/2$ que significa $x = \{\pi/6, 5\pi/6\}$.

Así $(x,y) = (\pi/6, 5\pi/6)$ o $(x,y)= (5\pi/6, \pi/6)$ (dentro de los períodos de $2\pi$)

Answer 3

SUGERENCIA

Cuadratura de ambas ecuaciones se obtiene $ \sin^2 x + \sin^2 y + 2\sin x \sin y = 1\\ \cos^2 x + \cos^2 y + 2\cos x \cos y = 0 $$ ahora añadir para obtener 2 + 2 \sin x \sin y + 2 \cos x \cos y = 1 $$ o en otras palabras $$ \frac{-1}{2} = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \cos (x-y) $$

Answer 4

Existen identidades para suma de pecado y lechuga romana:

$$\sin(x)+\sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)_.$$ $$\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right).$$

Usando la primera ecuación nos dice que $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\neq 0.$, pues, por la segunda ecuación, $\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0.$

Esto puede o puede no ser útil para finalizar el problema.

Answer 5

Yo solo buscará soluciones en $[0, 2\pi)$

Necesitamos hacer de la $2$ observaciones:

$1)$ El valor máximo de $\sin \theta$$1$. Por lo tanto, si alguno de $\sin x$, $\sin y$ es negativo, $\sin x + \sin y < 1$. De ello se deduce que tanto $x$ $y$ debe $\in [0, \pi]$.

$2)$ $\cos x= -\cos y \iff \cos x = \cos (\pi - y)$ . (Usted puede comprobar esto mediante el coseno de la resta de la fórmula). Ya estamos trabajando solamente en el intervalo de $[0, \pi]$, debemos tener $x=\pi-y$. Esto tiene sentido, porque los cosenos de los simétrica ángulos de lados opuestos de la $y$ eje cancelará a $0$.

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Sustituto $x=\pi-y$ en la primera ecuación:

$$\sin (\pi-y) + \sin y = 1$$

El uso de $\sin (a-b)= \sin a \cos b - \cos a \sin b$ podemos deducir que $\sin (\pi-y)=\sin y$

$$\sin y + \sin y = 1$$

$$\sin y = \dfrac 12$$

$$y = \dfrac {\pi}{6}, y= \dfrac {5\pi}{6}$$

$$x=\pi-y$$

Por tanto, las soluciones son $ \left( \dfrac {\pi}{6}, \dfrac {5\pi}{6} \right)$$ \left(\dfrac {5\pi}{6}, \dfrac {\pi}{6} \right)$. La simetría de las soluciones que se espera, ya que ambas ecuaciones originales y simétrica.