Demostrar que $(3+5\sqrt{2})^m=(5+3 \sqrt{2})^n$ no tiene soluciones enteras positivas?

Question

¿Está bien mi prueba? He puesto $b=3+5 \sqrt{2}$ , por lo que tenemos $b^m=(b+2-3 \sqrt{2})^n$ o $b^m=(b+\sqrt2(\sqrt2- 3))^n$ . Desde $RHS<LHS$ , $n>m$ . Sin embargo, por lo que sabemos de la expansión binomial, tendremos una $b^n$ en el $RHS$ que no se anulará con nada ya que es la mayor potencia, por lo que nunca podremos reducir el $RHS$ a sólo $b^m$ . No me gusta mucho mi prueba, ¿hay alguna mejor? ¿Y esto tiene solución para las potencias racionales, y cómo se puede demostrar que lo hace/no lo hace? Gracias.

Answer 1

Si hay una solución, hay una en la que el $\sqrt{2}$ se sustituyen por $-\sqrt{2}$ . Multiplicar. Obtenemos $$(3+5\sqrt{2})^m(3-5\sqrt{2})^m=(5+3\sqrt{2})^n(5-3\sqrt{2})^n.$$ Eso da $(-41)^m=7^n$ , imposible a menos que $m=n=0$ .

Tampoco puede haber racionales distintos de cero. Sólo hay que elevar a la potencia entera apropiada y utilizar básicamente el mismo argumento.

Answer 2

No entiendo su afirmación de no cancelar.

Sugerencia: considere la función $f(a + b \sqrt{2}) = (a + b \sqrt{2})(a - b \sqrt{2}) = a^2 - 2 b^2$ y observe que $f(xy) = f(x) f(y)$ .