Demostrando que $\iint_S (\nabla \times F) \cdot \hat{n} dS =0$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Demostrar que $$\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} dS =0$$ for any closed surface $S$ and twice differentiable vector field $\vec F:\mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3} $.

Necesito comprobarlo aplicando el teorema de Stokes.

La única cosa que quiero comprobar es si o no para cada superficie cerrada $S$, tenemos: $$\iint_S (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{n} dS =\int_C \vec F \cdot d\vec r$$ and the last term is trivially zero, because $C=\emptyset $ ($$ %S es una superficie cerrada).

¿Es esto correcto?

Gracias de antemano

Answer 1

Sí se puede utilizar el teorema de Stokes, pero también puede utilizar el teorema de Gauss(divergence)

$\iint_S (\nabla \times \vec{F)} \cdot \hat{n} dS = dV de \nabla \cdot (\nabla \times \vec{F)} \iiint_ {\text {Interior} (S)} $

Pero la divergencia de un enrollamiento es idénticamente cero es decir

$$ \nabla \cdot ( \nabla \times \vec{F}) = 0$$

Answer 2

Sí. Correcto. He aquí una alternativa (tal vez, un poco más riguroso (supongo, no ?)) prueba:

En lugar de elegir a $C$ a ser ese pequeño, infinitesimal, punto en algún momento sentado en el interior de la superficie, la eligió para ser una banda en la superficie. Como el ecuador alrededor de una esfera.

Esperar, entonces usted no tiene 1 superficie; tiene 2. Se divide la superficie de la integral en: $$\iint\limits_{S_1}\left(\nabla\times\vec f\right)\cdot \hat n\mbox{ d}S+\iint\limits_{S_2}\left(\nabla\times\vec f\right)\cdot \hat n\mbox{ d}S$$\

Ahora, la orientación de estas superficies son exactamente lo contrario, así que la segunda superficie de la integral puede ser escrito claramente como el negativo de la primera superficie de la integral desde la cruz del producto también es negado. Como alternativa, en este punto, usted puede convertir la superficie integrales, utilizando stokes teorema en las integrales de línea en el sentido contrario de las agujas del reloj y las direcciones respectivamente, y luego se dan cuenta de que pueden celda! Por lo tanto, el total de la suma es 0.

Como se requiere.

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