Hay varias maneras de interpretar esta pregunta.
El ingenuo manera sería simplemente para dar algún tipo de definición para el conjunto de los números enteros. Esto no es muy difícil, podemos reconocer a $1$ en los números reales, porque es el único número $x$ tal que $r\cdot x=r$ todos los $r\in\mathbb R$.
Ahora consideremos el conjunto obtenido en varias ocasiones la adición de $1$ a sí mismo, o restando $1$ a partir de sí mismo. Es decir,$\{0,1,-1,1+1,-1-1,1+1+1,-1-1-1,\ldots\}$. Se puede demostrar que este conjunto es, de hecho, los números enteros. Cada entero es una suma finita de $1$ o el inverso aditivo de tales conjuntos.
También se podría definir, como sin Nombre, a qué se inductivo para establecer, a continuación, defina $\mathbb N$ como el menor conjunto inductivo, y $\mathbb Z$ como el menor conjunto que contiene a $\mathbb N$ y cerrado bajo la suma y la resta.
Sin embargo también se podría interpretar esta pregunta con la pregunta:"Es el conjunto $\mathbb Z$ primer orden definible en $\mathbb R$ en el idioma de ordenada campos?", es decir, si usted vive dentro de los números reales, ¿hay alguna fórmula en el lenguaje de $0,1,+,\cdot,<$ de manera tal que sólo enteros satisfacer?
La respuesta a esta pregunta es negativa. Los números enteros no son de primer orden definible en $\mathbb R$. Este es un resultado no trivial en el modelo de la teoría. Pero es importante tener en cuenta, porque es perfectamente válida la interpretación de la pregunta, y el resultado es completamente diferente respuesta que la de arriba.
En particular, ayuda a la comprensión de primer orden definability frente de segundo orden definability, e interno vs externo-definability.
Voy a añadir algunos más a la respuesta, porque de un reciente comentario por el OP a la pregunta original. Creo que alguna es necesaria una aclaración a mi respuesta aquí.
En primer lugar, debemos entender qué significa "definir" significa que a partir de una lógica orientada punto de vista. Esto significa que hay un lenguaje que los números reales interpretar el lenguaje de una manera coherente, y no hay una fórmula en una variable libre que es verdadero si y sólo si se conecta un número entero.
Por ejemplo, no podemos definir a $\mathbb R$ dentro $\mathbb C$ si sólo tenemos $0,1,+,\times$, pero podemos hacer que si también tenemos la conjugación mapa en nuestro vocabulario - como se muestra en la pregunta.
Ingenuamente hablando, cuando nos acercamos a las matemáticas podemos pensar que todo lo que está disponible para nosotros, lo cual es cierto hasta cierto punto. Pero cuando queremos hablar acerca de la lógica, y en particular la lógica de primer orden, entonces primero tenemos que entender que sólo las cosas dentro de un lenguaje particular, están disponibles para nosotros y no podemos esperar que la gente supongo que lo que este lenguaje es si no se especifica que.
Esta pregunta no se especifica el idioma, lo que hace que no sea descabellado pensar que estamos hablando de los números reales en el lenguaje de la ordenó campos. Por lo que en nuestro idioma sólo tenemos $0,1,+,\times,<$ (e igualdad, siempre tenemos la igualdad). En este lenguaje, no podemos definir los enteros dentro de los números reales con un primer orden de la fórmula.
Ah, pero, ¿qué es de primer orden de la fórmula? Así, en general, en una fórmula que se puede tener variables que son objetos de nuestra estructura (en este caso, los números reales) y podemos tener conjuntos de números reales y podemos tener conjuntos de conjuntos de números reales, y así sucesivamente. De primer orden fórmulas nos permiten sólo para cuantificar sobre los objetos, que es la de los números reales. Por lo que las variables en la lógica de primer orden son los elementos del universo, que en nuestro caso significa simplemente los números reales. De segundo orden, la lógica nos permiten cuantificar sobre conjuntos de números reales), pero no de conjuntos de conjuntos de números reales, y así sucesivamente.
Así, por ejemplo, podemos escribir una definición para $2$ con un primer orden de la fórmula, por ejemplo,$x=1+1$. No hay un único elemento que satisface esta propiedad y esto es $2$. Y podemos escribir la definición de un conjunto inductivo utilizando un segundo orden de la fórmula, $0\in A\land\forall x(x\in A\rightarrow x+1\in A)$.
Pero como resulta que no podemos expresar la propiedad de ser un conjunto inductivo (y por supuesto, no podemos expresar la propiedad de ser la mínima inductivo) en la lógica de primer orden cuando nos limitamos sólo a los números reales como un ordenado campo. La prueba, como señalé, no es trivial.
El comentario me refería dice:
@WillieWong no sé el número real de campo: para mí los números reales forman una línea. – Virtlink
Lo que le confiere aún otra forma de interpretar este enfoque. Podemos considerar los números reales simplemente como un conjunto ordenado. Ignoramos el hecho de que es un campo, y nos limitamos a mirar a la orden.
Pero este lenguaje tiene incluso menos expresivo poderes que los que de orden del campo, por ejemplo, no podemos definir la suma y la multiplicación. De hecho, ni siquiera podemos definir $0$ $1$ en este idioma. Sólo tenemos el fin de trabajar con, y que realmente no hay mucho que trabajar.
Es mucho más fácil demostrar que simplemente como un conjunto ordenado de todos los resultados sobre undefinability espera, no me voy a meter en esto, pero voy a señalar que definability es "inmune a los automorfismos", y $\mathbb R$ tiene un montón de automorfismos que preservar el orden y mover cada elemento.
Más allá de que uno se encuentra con la filosofía de las matemáticas bastante rápido. ¿Cuáles son los números reales? Son conjuntos? Son cualquier estructura que interpretar un idioma en particular de una manera particular? ¿Construimos los enteros de los números reales o hemos de construir los números reales a partir de los enteros? (En primer lugar tenemos a la construcción de los números racionales, por supuesto).
Esas son preguntas interesantes, pero esencialmente discutible si uno desea simplemente para hablar de primer orden definability en un determinado idioma o en otro. Pero si uno se acerca a esta en un "ingenuo" que permite un mayor orden de la cuantificación, y el uso de cualquier función que debemos saber acerca de, a continuación, la respuesta es muy simple (aunque es posible ejecutar en la circularidad si uno no es lo suficientemente cuidadoso).
Espero que esto se explica, entre otras cosas, por qué comencé mi respuesta con "Hay varias maneras de interpretar esta cuestión". Simplemente no puede ver los números reales como estructura diferente en diferentes idiomas y que puede o no puede permitir que las fórmulas a utilizar conjuntos de números reales. En cada uno de estos interpretación de la pregunta puede tener una respuesta diferente, y diferentes razones para que esta respuesta sea cierto!
(Debo dejar de escribir esta monografía ahora, si vas a leer hasta este punto - eres un valiente [wo]el hombre que soy!)
Pero espere, aún hay más!
- La verdadera Definición de los Números Reales
- FO-definability de los enteros en (Q, +, <)
- ¿Qué es definability en la Lógica de Primer Orden?
