Parece que usted sigue pensando de límites como casi equivalente a la obturación. Tal vez debería echar un vistazo a estas respuestas aquí y aquí para entender que los límites son algo muy diferente de la contramarcha.
Tu pregunta es en última instancia: ¿cómo $\lim_{h \to 0}2x + h = 2x$? Su argumento es que la $\epsilon$-$\delta$ definición de límite impide que $h$ a convertirse $0$ cómo $2x + h$ hace $2x$ si $h$ no $0$. Bien, $2x + h$ no es igual a $2x$ si $h = 0$, pero el límite de $2x + h$$2x$$h \to 0$. Tratando de pensar en límites de los valores de las funciones de siempre crea este problema. Aplicar la definición de límite de aquí y se puede ver que para cualquier $\epsilon > 0$ es posible encontrar $\delta > 0$ tal que $$|2x + h - 2x| < \epsilon$$ whenever $0 < |h| < \delta$. Here you can see that $\delta = \epsilon$ suffices. Hence $\lim_{h \to 0}2x + h = 2x$.
Un límite no significa que la evaluación de los valores de una función, más bien significa verificar si un conjunto de desigualdades en relación con los valores de una función mantenga por debajo de un determinado conjunto de circunstancias o no. A menos que adoptar este punto de vista se va a confundirse y preguntas parecidas.
Actualización: el Usuario Dave L. Renfro ha mencionado un muy buen ejemplo de un límite de evaluación, donde es posible conectar (conectar, no es el resultado en indefinidos de expresión), sin embargo, enchufar da la respuesta equivocada. El ejemplo fue originalmente dada por David Sanders en Una advertencia contra-ejemplo,
La Matemática De La Gaceta 59 #407 (Marzo De 1975) 44-45.
Deje $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que no excede $x$ y, a continuación, definimos $$f(x) = x\lfloor -x^{2}\rfloor$$ Clearly $f(0) = 0$ and hence $$f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{x\lfloor -x^{2}\rfloor}{x} = \lim_{x \to 0}\lfloor -x^{2}\rfloor$$ In the last step after cancelling $x$ from numerator and denominator we get an expression which is well defined at $x = 0$ and we can plug the value $x = 0$ to get the limit as $0$. But this gives a wrong answer! The right answer is $-1$ because we can make $-x^{2}$ to lie between $-1$ and $0$ by choosing $x$ near $0$ and therefore $\lfloor -x^{2}\rfloor$ stays constant with value $-1$.
Si el lector ha visitado mi vinculado respuestas (que figuran en el comienzo de esta respuesta), a continuación, es posible que observe que conectar el aparato no funciona en el ejemplo anterior, porque el mayor entero de la función $\lfloor x \rfloor$ no es una función primaria.
