$\log^2 (x^2) + \log (x-1) = 0$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación de $\log^2 (x^2) + \log (x-1) = 0$ pero lo único que pude hacer es demostrarles que $1 < x < 2$. Wolfram Alpha dice que $x = 1.508554...$, esto es bueno, pero realmente quiero escribir $x$ con una expresión explícita, aproximación no numérica.

Este problema vino de un grupo de amigos, nadie sabe cómo resolverlo.

¡Gracias!

Answer 1

No se conoce la forma cerrada de solución para las ecuaciones como ésta. Vamos a simplificar: $$\log^2x^2+\log(x-1)=0$$ $$\log x^2\cdot\log x^2=-\log(x-1)$$ $$\log x^{2\log x^2}=\log\dfrac1{x-1}$$ $$x^{4\log x}=\dfrac1{x-1}$$ $$x^{-4\log x}=x-1$$ Hemos exponencial y función logarítmica en la PREPA y la función lineal en la RHS. Cuando tenemos lineal y exponencial o logarítmica de la función en la misma ecuación debemos utilizar la función W de Lambert. Sólo ecuación que puede ser resuelto mediante la función W de Lambert es $$a^{f(x)}+bf(x)+c=0$$ si podemos encontrar la $f^{-1}(x)$ donde $a,b,c$ son constantes. La ecuación de $\log^2x^2+\log(x-1)=0$ no puede ser reducido a este formulario, por lo que no hay forma cerrada de la solución.