Un grupo abeliano de orden 100

Question

La primera parte del problema le pide que demuestre que un grupo abeliano $G$ con el pedido $100$ debe contener un elemento de orden $10$ . Para esta parte, utilizo el teorema de Sylow para enumerar las posibilidades de $H$ y $K$ donde $|H|$ = $2^{2}$ y $|K|$ = $5^{2}$ . $K$ debe ser normal ya que no existe ningún subgrupo de orden $25$ mientras que $H$ puede no ser normal ya que $1$$ \N - El equipo $$25$ mod $2$ . También he demostrado que $H$$ K $=$ G$ y sólo tienen en común el elemento de identidad.

Entonces, si $H$ y $K$ son normales. G debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos:

$Z_{4}$ $\times$ $Z_{25}$

$Z_{2}$ $\times$ $Z_{2}$ $\times$ $Z_{25}$

$Z_{4}$ $\times$ $Z_{5}$ $\times$ $Z_{5}$

$Z_{2}$ $\times$ $Z_{2}$ $\times$ $Z_{5}$ $\times$ $Z_{5}$

A partir de lo anterior, es fácil recoger el elemento de orden $10$ para cada uno. Pero mi confusión es que como $G$ es un grupo abeliano, ¿cómo puedo utilizar el teorema de que cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos?

Además, como la segunda parte le pregunta si ningún elemento de $G$ tiene un orden mayor que $10$ ¿cuáles son sus coeficientes de torsión? Creo que mi forma de enumerar las posibilidades es demasiado complicada. ¿Hay alguna forma más explícita de resolver el problema?

Muchas gracias.

Answer 1

Si usted está asumiendo que $G$ es un grupo abeliano de orden $100$ entonces no se necesitan los Teoremas de Sylow, sólo se necesita el Teorema de Cauchy: ya que $2$ y $5$ dividir $|G|$ , $G$ tiene un elemento $a$ de orden $2$ y un elemento $b$ de orden $5$ . Entonces $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{0\}$ (escribiendo los grupos de forma aditiva), por lo que $a+b$ tiene orden $10$ como se puede comprobar fácilmente: $$\begin{align*} k(a+b) = 0 &\iff ka+kb = 0\\ &\iff ka=-kb\\ &\iff ka,kb\in\{0\}\\ &\iff 2|k\text{ and }5|k\\ &\iff 10|k. \end{align*}$$

En la segunda parte se pregunta si no hay elementos de orden superior a 100 en un grupo abeliano de orden 100? El grupo cíclico de orden 100 demuestra que no tiene por qué ser así. De hecho, el único grupo abeliano de orden $100$ en la que no hay elementos de orden mayor que $10$ es el grupo $\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_2\oplus\mathbf{Z}_{5}\oplus\mathbf{Z}_{5}\cong \mathbf{Z}_{10}\oplus\mathbf{Z}_{10}$ .

O puede que esté entendiendo mal la segunda parte, y que en cambio estés le dijo a que $G$ no tiene elementos de orden mayor que $10$ ... los únicos órdenes posibles, por el Teorema de Lagrange, son $1$ , $2$ , $4$ , $5$ , $10$ , $20$ , $25$ , $50$ y $100$ . Como se dice que no hay elementos de orden mayor que $10$ entonces las órdenes deben ser $1$ , $2$ , $4$ , $5$ o $10$ . Pero si tiene un elemento $x$ de orden $4$ entonces $x+b$ es de orden $20$ (mismo argumento que el anterior), una contradicción. Por tanto, todo elemento es de orden $1$ , $2$ , $5$ o $10$ . Y ciertamente hay elementos de orden $1$ (A saber, $0$ ), orden $2$ y $5$ (Teorema de Cauchy), y el orden $10$ (primera parte del problema).