Encontrar curvas paramétricas en una esfera

Question

1. ¿Existe algún método general para encontrar esas curvas? Supongamos que tengo una curva plana, ¿cómo puedo proyectarla sobre una esfera?

2. Estoy interesado en una curva que comienza en el polo sur de una esfera, luego la envuelve en movimiento espiral y termina en el polo norte. ¿Es posible construirla?

Answer 1

Para su primera pregunta, suponga $\gamma$ es cualquier curva. Entonces la norma de $\frac{\gamma}{||\gamma||}$ es $\frac{||\gamma||}{||\gamma||} = 1$ , por lo que la imagen de $\frac{\gamma}{||\gamma||}$ vive en la esfera de la unidad en su espacio.

Su segunda pregunta puede responderse con la ayuda de la proyección estereográfica. Tomaremos una curva en el plano y la proyectaremos sobre la esfera unitaria.

(Imagen de Wikipedia .)

Si describimos el plano con las coordenadas polares $(R,\Theta)$ y la esfera con las coordenadas $(\varphi,\theta)$ , donde $\varphi$ es el zenith ángulo y $\theta$ el azimut entonces el mapa del plano a la esfera viene dado por

$$ \begin{align} \varphi &= 2 \arctan\left(\frac{1}{R}\right), \\ \theta &= \Theta. \end{align} $$

Si lo desea, esto se puede convertir a coordenadas cartesianas mediante

$$ \begin{align} x &= \cos \theta \sin \varphi, \\ y &= \sin \theta \sin \varphi, \\ z &= \cos \varphi. \end{align} $$

Como ejemplo, si tomamos la espiral logarítmica definida en coordenadas polares por $R = e^{\Theta/8}$ la curva paramétrica cartesiana que describe su imagen en la esfera es

$$ \gamma(t) = \left(\begin{array}{c} \cos t \,\sin \left(2 \arctan \left(e^{-t/8}\right)\right) \\ \sin t \,\sin \left(2 \arctan \left(e^{-t/8}\right)\right) \\ \cos \left(2 \arctan \left(e^{-t/8}\right)\right) \end{array}\right). $$

Answer 2

1. ¿Realmente quieres decir círculo, en lugar de esfera?

2. Una parametrización con tasa de aumento constante a lo largo de la $z$ eje es $(x,y,z)=\left( \sqrt{1-t^2}\cos (a \pi t), \: \sqrt{1-t^2} \sin (a \pi t), \: t \right), \: 0<t<1$ , donde el $a$ controla el número de revoluciones. Esto es con $a=5$ :

Se puede deducir esto observando que $x \propto \cos(\cdot) $ y $y \propto \sin (\cdot)$ . Si $z$ es aumentar de forma lineal de -1 a +1 podemos dejar que $z=t$ para $t=-1 \dots 1$ . Por último, dado que la espiral se encuentra en la superficie de una esfera $x^2+y^2+z^2=1$ por lo que se deduce que $x=\sqrt{1-t^2}\cos (a \pi t)$ y $y=\sqrt{1-t^2} \sin (a \pi t)$

Answer 3

Me gusta más el mío. Mira como los pelos cruzados tienen los puntos rojos y naranjas.