¿Qué es realmente la integración por partes?

Question

La integración por partes aparece con frecuencia; por ejemplo, aparece en la definición de una derivada débil/derivada distributiva, o como una herramienta que se puede utilizar para convertir la información sobre las derivadas superiores de una función en información sobre una integral de esa función. Ejemplos concretos de esta última categoría son: demostrar que $f \in C^2(S^1)$ implica que la serie de Fourier de $f$ converge de forma absoluta y uniforme, y la expansión en serie de Taylor con la fórmula integral para el resto.

Sin embargo, no siento que entienda realmente lo que hace la integración por partes. Para mí, no es más que un truco algebraico que se deriva del teorema fundamental del cálculo y de la regla del producto. ¿Hay alguna manera más conceptual de pensar en ello?

¿Qué le parece esta útil idea?

Answer 1

Siempre me ha parecido útil pensarlo así: (imagen fuente )

El área de las zonas grises combinadas es $u_2v_2 - u_1 v_1$ que es donde el $uv$ término viene de.

Answer 2

La integración por partes es un corolario de la regla del producto:

$(uv)' = uv' + u'v$

Tome la integral de ambos lados para obtener $uv = \int u \ dv + \int v \ du$ .

Si se supone que hay que recordarlo por separado de la regla del producto, entonces no es tan fácil trabajar con él, ya que hay que hacer conjeturas sobre lo que hay que asignar $u$ y qué asignar $dv$ (normalmente $dv = f(t) dt$ ). Pero si se tiene conocimiento de la regla del producto entonces se toma el integrando (en términos de $t$ ) lo llaman $F(t)$ y utilizar la regla del producto en primer lugar. A continuación, sus opciones de $u, dv$ son fácilmente evidentes.

Answer 3

Una idea es que la integración por partes expresa el hecho de que el adjunto de $\frac{d}{dx}$ es $-\frac{d}{dx}$ (en un entorno en el que los términos de frontera desaparecen). En el caso multivariable, la integración por partes expresa el hecho de que el adjunto de $\nabla$ es $-\text{div}$ .

Answer 4

Puede que no sea riguroso pero esto se lleva la palma para mí:

$$\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = [f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m] - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_k).$$

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

La primera fórmula toma una suma que incluye un $f\Delta g$ y lo transforma en una suma que contiene un $g\Delta f$ . La integración por partes toma una integral con un $u\,dv$ y lo transforma en una integral con un $v\,du$ plazo.

( Wikipedia- Suma por partes )

Answer 5

Me gusta pensar en la integración por partes como el Teorema de Fubini. Así que si $$F(x) = \int_a^x f(y) \, dy, \quad G(x) = \int_a^x g(y) \, dy ,$$ entonces $$\int_a^b F(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) G(x) \, dx$$ $$= \int_{x=a}^b \int_{y=a}^x f(y) g(x) \, dy \, dx + \int_{x=a}^b \int_{y=a}^x f(x) g(y) \, dy \, dx$$ $$= \int_{x=a}^b \int_{y=x}^b f(x) g(y) \, dy \, dx + \int_{x=a}^b \int_{y=a}^x f(x) g(y) \, dy \, dx$$ donde en la primera mitad cambié los papeles de $x$ y $y$ y luego intercambiar el orden de integración $$= \int_{x=a}^b \int_{y=a}^b f(x) g(y) \, dy \, dx = F(b) G(b) = [ F(x)G(x) ]_{x=a}^b$$ recordando que $F(a) = G(a) = 0$ . (Sé que en esencia esto es lo mismo que la respuesta de Henry Swanson, pero es una perspectiva diferente).