Grado mínimo de un polinomio que pasa por puntos

Question

Si $P(x)$ es un polinomio tal que $P(a_{1})=b_{1}, P(a_{2})=b_{2}, \ldots , P(a_{k})=b_{k}$ ¿Cómo puedo encontrar el polinomio que tiene el grado mínimo y para el que se cumplen las relaciones anteriores?

Answer 1

Puede utilizar Interpolación de Lagrange para encontrar el polinomio. Tendrá un grado como máximo $k-1$ Habrá que trabajar un poco para ver si el grado es menor.

Answer 2

Ingenuamente, se podría construir el polinomio interpolador a través de la primera $t$ puntos, y ver si pasa por los otros. Si no es así, aumenta $t$ por uno. Para cuando $t=k$ definitivamente tendrás uno.

Answer 3

Dado $k$ puntos distintos, a partir del teorema fundamental del álgebra, podemos encontrar un polinomio de grado como máximo $k-1$ pasando por estos $k$ puntos. Este polinomio se llama Polinomio de Lagrange y esta interpolación se conoce como interpolación de Lagrange.

El polinomio de Lagrange se encuentra como sigue: Primero se calcula $$L_j(a)\:=\:\prod_{i \neq j}{a-a_i\over a_j-a_i}\,.$$ Tenga en cuenta que $L_j(x)$ es un polinomio en $a$ de grado $k-1$ y tiene la propiedad de que $L_j(a_i) = \delta_{ij}$ , donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker. Ahora bien, el polinomio de Lagrange que buscas viene dado por $$L(a) = \sum_{j=1}^k b_j L_j(a)$$ El grado de este polinomio interpolador no es más que el rango de la siguiente matriz $$\begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots a_1^{k-1} & b_1\\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots a_2^{k-1} & b_2\\ 1 & a_3 & a_3^2 & \cdots a_3^{k-1} & b_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \vdots & \vdots\\ 1 & a_k & a_k^2 & \cdots a_k^{k-1} & b_k\\\end{bmatrix}$$